Skip to main content
Log in

Frobenius, Cartan, and the Problem of Pfaff

  • Published:
Archive for History of Exact Sciences Aims and scope Submit manuscript

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

References

  1. M. Akivis and B. Rosenfeld. Élie Cartan (1869–1951), volume 123 of Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1993.

  2. Anonymous. Zum Andenken an Rudolf Friedrich Alfred Clebsch. Math. Ann., 6:197–202, 1873.

  3. R. Baltzer. Theorie und Anwendungen der Determinanten. S. Hirzel, Leipzig, 3rd edition, 1870.

  4. O. Biermann. Über n simultane Differentialgleichungen der Form ∑μ=1n+mXμdxμ. Zeitschrift für Mathematik und Physik, 30:234–244, 1885.

    Google Scholar 

  5. R. Bölling, editor. Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und Sofja Kowalewskaja. Akademie Verlag, Berlin, 1993.

  6. C. Burali–Forti. Introduction à la géométrie différentielle suivant la méthode de H. Grassmann. Gauthier–Villars, 1897.

  7. E. Cartan. Le principe de dualité et certaines intégrales multiples de l’espace tangentiel et de l’espace réglé. Bull. Soc. Math. France, 24:140–177, 1896. Reprinted in Oeuvres II.1, 265–302.

  8. E. Cartan. Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff. Annales scientifiques École Normale Sup. Paris, 16:239–332, 1899. Reprinted in Oeuvres II.1, 303–396.

  9. E. Cartan. Sur l’intégration des systèmes d’équations aux différentielles totales. Annales scientifiques École Normale Sup. Paris, 18:241–311, 1901. Reprinted in Oeuvres II.1, 411–481.

  10. E. Cartan. Sur l’intégration de certains systèmes de Pfaff de caractère deux. Bulletin des sciences mathématiques, 29:233–302, 1901. Reprinted in Oeuvres II.1, 483–553.

  11. E. Cartan. Leçons sur les invariants intégraux. A. Hermann & fils, Paris, 1922.

  12. E. Cartan. Les systèmes différentiels extérieurs et leur applications géométriques. Actualités scientifiques et industrielles, no. 994. Hermann, Paris, 1945.

  13. E. B. Christoffel. Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades. Jl. für die reine u. angew. Math., 70:46–70, 1869. Reprinted in Abhandlungen 1, 352–377

  14. A. Clebsch. Über das Pfaffsche Problem. Jl. für die reine u. angew. Math., 60:193–251, 1861.

  15. A. Clebsch. Über das Pfaffsche Problem. Zweite Abhandlung. Jl. für die reine u. angew. Math., 61:146–179, 1863.

  16. A. Clebsch. Über die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen. Jl. für die reine u. angew. Math., 65:257–268, 1866.

  17. C. W. Curtis. Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur and Brauer. American Mathematical Society, 1999.

  18. G. Darboux. Sur les relations entre groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l’espace. Annales scientifiques École Normale Sup. Paris, (2) 1:323ff., 1872.

  19. G. Darboux. Sur le probème de Pfaff. Bulletin des sciences mathématiques, (2)6:14–68, 1882.

    Google Scholar 

  20. H. Deahna. Über die Bedingungen der Integrabilität linearer Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen einer beliebigen Anzahl veränderlicher Grössen. Jl. für die reine u. angew. Math., 20:340–349, 1840.

  21. F. Engel. Anmerkungen. In Sophus Lie Gesammelte Abhundlungen, volume 3, pages 585–789. Teubner, Leipzig, 1922.

  22. A. R. Forsyth. Theory of Differential Equations. Part I. Exact Equations and Pfaff’s Problem. Cambridge University Press, 1890.

  23. G. Frei and U. Stammbach. Hermann Weyl und die Mathematik an der ETH Zürich, 1913–1930. Birkhäuser, Basel, 1992.

  24. G. Frobenius. Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten. Jl. für die reine u. angew. Math., 73:1–30, 1871. Reprinted in Abhandlungen 1, 35–64. Essentially a German reworking of his Berlin dissertation, which is reprinted in Abhandlungen 1, 1–34.

  25. G. Frobenius. Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maasses. Jl. für die reine u. angew. Math., 79:184–247, 1875. Reprinted in Abhandlungen 1, 158–231.

  26. G. Frobenius. Über das Pfaffsche Problem. Jl. für die reine u. angew. Math., 82:230–315, 1877. Reprinted in Abhandlungen 1, 249–334.

  27. G. Frobenius. Über lineare Substitutionen und bilineare Formen. Jl. für die reine u. angew. Math., 84:1–63, 1878. Reprinted in Abhandlungen 1, 343–405.

  28. G. Frobenius. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten. Jl. für die reine u. angew. Math., 86:146–208, 1879. Reprinted in Abhandlungen 1, 482–544.

  29. G. Frobenius. Über homogene totale Differentialgleichungen. Jl. für die reine u. angew. Math., 86:1–19, 1879. Reprinted in Abhandlungen 1, 435–453.

  30. G. Frobenius. Theorie der linearen Formen mit ganzen Coefficienten (Forts.). Jl. für die reine u. angew. Math., 88:96–116, 1880. Reprinted in Abhandlungen 1, 591–611.

  31. G. Frobenius. Zur Theorie der linearen Gleichungen. Jl. für die reine u. angew. Math., 129:175–180, 1905.

  32. C. Gauss. Review of [66]. Göttingische gelehrte Anzeigen, pages 1025–1038, 1831.

  33. H. Grassmann. Die lineale Ausdehnungslehre, volume 1, Pt. 2. Enslin, Berlin, 1862. Reprinted with extensive notes by F. Engel in [34].

  34. H. Grassmann. Hermann Grassmanns gesammelte mathematische und physikalische Werke ... herausgegeben von Friedrich Engel, volume I2. Teubner, 1896.

  35. J. Gray. Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré. Birkhäuser, Boston, 2nd. edition, 2000.

  36. M. Hamburger. Zur Theorie der Integration eines Systems von n linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen und n abhängigen Veränderlichen. Jl. für die reine u. angew. Math., 81:243–280, 1876.

  37. M. Hamburger. Über das Pfaff’sche Problem. Archiv der Mathematik und Physik, 60:185–214, 1877.

  38. T. Hawkins. The origins of the theory of group characters. Arch. Hist. Exact. Sci., 7:142–170, 1971.

    Google Scholar 

  39. T. Hawkins. New light on Frobenius’ creation of the theory of group characters. Arch. Hist. Exact Sci., 12:217–243, 1974.

    Google Scholar 

  40. T. Hawkins. Another look at Cayley and the theory of matrices. Archives internationales d’histoire des sciences, 26:82–112, 1977.

  41. T. Hawkins. Weierstrass and the theory of matrices. Archive for History of Exact Sciences, 17:119–163, 1977.

  42. T. Hawkins. Non-Euclidean geometry and Weierstrassian mathematics: The background to Killing’s work on Lie algebras. Historia Mathematica, 7:289–342, 1980.

    Google Scholar 

  43. T. Hawkins. The Berlin School. In H. Mertens, et al., editor, Social History of Nineteenth Century Mathematics, pages 233–245. Birkhäuser, Basel and Boston, 1981.

  44. T. Hawkins. Jacobi and the birth of Lie’s theory of groups. Archive for History of Exact Sciences, 42:187–278, 1991.

    Google Scholar 

  45. T. Hawkins. Weyl and the topology of continuous groups. In I. M. James, editor, History of Topology, pages 169–198. North-Holland, 1999.

  46. T. Hawkins. Emergence of the Theory of Lie Groups. An Essay on the History of Mathematics 1869–1926. Springer, New York, 2000.

  47. K. Itô, editor. Encyclopedic Dictionary of Mathematics, volume 3. MIT Press, 1987.

  48. C. G. J. Jacobi. Über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Jl. für die reine u. angew. Math., 2:317–329, 1827. Reprinted in Werke 4, 1–15.

  49. C. G. J. Jacobi. Über die Pfaffsche Methode, eine gewöhnliche lineare Differentialglei-chung zwischen 2n Variabeln durch ein System von n Gleichungen zu integriren. Jl. für die reine u. angew. Math., 2:347–357, 1827. Reprinted in Werke 4, 19–29.

  50. C. G. J. Jacobi. De binis quibuslibet functionibus homogeneis secundi ordinis per substitutiones lineares in alias binas transformandis, quae solis quadratis variabilium constant; .... Jl. für die reine u. angew. Math., 12:1–69, 1834. Reprinted in Werke 3, 191–268.

  51. C. G. J. Jacobi. Theoria novi multiplicatoris systemati aequationum differentialum vulgarium applicandi. Jl. für die reine u. angew. Math., 27 & 29:199–268 & 213–279; 333–376, 1845. Reprinted in Werke 4, 317–509.

  52. C. G. J. Jacobi. Über eine elementare Transformation eines in Bezug auf jedes von zwei Variablen-systemen linearen und homogenen Ausdrucks. Jl. für die reine u. angew. Math., 53:265–270, 1857. Reprinted in Werke 3, 583–590.

  53. C. G. J. Jacobi. Nova methodus, aequationes differentiales partiales primi ordinis inter numerum variabilium quemcumque propositas integrandi. Jl. für die reine u. angew. Math., 60:1–181, 1862. Reprinted in Werke 4, 3–189. Translated into German and annoted by G. Kowalewski as Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 156 (Leipzig, 1906).

  54. C. Jordan. Sur les polynômes bilinéaires. Comptes Rendus, Acad. Sci. Paris, 77:1487–1491, 1873. Reprinted in Oeuvres 3, 7–11.

  55. E. Kähler. Einführung in die Theorie der Systeme von Differential-gleichungen. Teubner, Leipzig, 1934.

  56. V. Katz. The history of differential forms from Clairaut to Poincaré. Historia Mathematica, 8:161–188, 1981.

    Google Scholar 

  57. V. Katz. Differential forms – Cartan to De Rham. Archive for History of Exact Sciences, 33:321–336, 1985.

  58. L. Kronecker. Über Schaaren von quadratischen und bilinearen Formen. Monatsberichte der Akademie der Wiss. zu Berlin, pages 59–76, 1874. Reprinted in Werke 1, 349–372.

  59. J. L. Lagrange. Sur différentes questions d’analyse relatives à la théorie des integrales particulières. Nouv. Mém. Acad. Sci. Berlin, 1781. Reprinted in Oeuvres 4, 585–634.

  60. S. Lie. Theorie des Pfaffschen Problems I. Archiv for Mathematik, 2:338–379, 1877. Reprinted in Abhandlungen 3, 320–351.

  61. R. Lipschitz. Untersuchungen in Betreff der ganzen homogenen Functionen von n Differentialen. Jl. für die reine u. angew. Math., 70:71–102, 1869.

  62. A. Mayer. Über unbeschränkt integrable Systeme von linearen totalen Differentialgleichungen und die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen. Math. Ann., 5:448–470, 1872.

    Google Scholar 

  63. A. Mayer. Review of [26]. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 9:249–254, 1880.

  64. G. Mittag-Leffler. Weierstrass et Sonja Kowalewsky. Acta mathematica, 39:133–198, 1923.

    Google Scholar 

  65. L. Natani. Über totale und partielle Differentialgleichungen. Jl. für die reine u. angew. Math., 58:301–328, 1861.

  66. J. F. Pfaff. Methodus generalis aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, complete integrandi. Abhandlungen d. Akad. der Wiss. zu Berlin 1814–15, pages 76–136, 1818. All references are to the annoted German translation by G. Kowalewski published as Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 129, W. Engelmann, Leipzig, 1902.

  67. B. Riemann. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Abhandlungen der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1868. Reprinted in Werke, 272–287.

  68. E. Scholz. Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffes von Riemann bis Poincaré. Birkhäuser, Basel and Boston, 1980.

  69. L. Stickelberger. De problemate quodam ad duarum bilinearium vel quadraticarium transformationum pertinente. G. Schade, Berlin, 1874.

  70. R. Tobies and D. Rowe, editor. Korrespondenz Felix Klein-Adolph Mayer. Auswahl aus den Jahren 1871–1907. Teubner, Leipzig, 1990.

  71. E. von Weber. Vorlesungen über das Pfaffsche Problem und die Theorie der partiellen Differentialglei-chungen erster Ordnung. Teubner, Leipzig, 1900.

  72. K. Weierstrass. Über ein die homogenen Functionen zweiten Grades betreffendes Theorem. Monatsberichte der Akademie der Wiss. zu Berlin, 1858. Reprinted in Werke 1, 233–246.

  73. K. Weierstrass. Zur Theorie des quadratischen und bilinearen Formen. Monatsberichte der Akademie der Wiss. zu Berlin, pages 311–338, 1868. Reprinted with modifications in Werke 2, 19–44.

Download references

Author information

Authors and Affiliations

Authors

Corresponding author

Correspondence to Thomas Hawkins.

Additional information

Communicated by J. J. Gray

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Hawkins, T. Frobenius, Cartan, and the Problem of Pfaff. Arch. Hist. Exact Sci. 59, 381–436 (2005). https://doi.org/10.1007/s00407-004-0095-4

Download citation

  • Received:

  • Published:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/s00407-004-0095-4

Navigation