Portfolio optimization: volatility constraints versus shortfall constraints

Abstract.

In this paper we examine two models of portfolio optimization. Volatility (standard deviation) constraints as well as shortfall constraints are considered and compared. We present a general condition under which the restriction to a certain risk level concerning volatility can be transformed to a special shortfall constraint and vice versa. We show that under this condition the Value at Risk of a portfolio can be easily calculated and restricted using the variance of the portfolio even if the return distribution is asymmetric. Finally, we give two examples of portfolio optimization where we show how the derived condition can be applied.

Zusammenfassung.

In dieser Arbeit untersuchen wir zwei Modelle der Portfolio Optimierung. Beschränkungen der Volatilität (Standardabwei- chung) und Shortfall Beschränkungen werden betrachtet und verglichen. Wir geben eine allgemeine Bedingung an, bei der die Restriktion auf ein bestimmtes Risikomaß bezüglich Volatilität als spezielle Shortfall Restriktion formuliert werden kann und umgekehrt. Wir zeigen weiter, daß unter dieser Bedingung der Value at Risk eines Portfolios mittels der Varianz des Portfolios leicht berechnet und beschränkt werden kann, auch wenn die Renditeverteilung nicht symmetrisch ist. Schließlich geben wir zwei Beispiele aus der Portfolio Optimierung an, an denen gezeigt wird, wie unsere Bedingung angewandt werden kann.