Barycentres convexes et approximations des martingales continues dans les variétés

Résumé

On majore le diamètre de l’ensemble des barycentres convexes d’une probabilité portée par un petit compact d’une variété avec connexion, par le moment d’ordre trois de la probabilité. Si le compact est un espace produit, on démontre que le projeté sur une composante de l’ensemble des barycentre convexes est l’ensemble des barycentres convexes de la loi marginale sur cette composante.

On utilise ces propriétés pour démontrer que les suites de martingales discrètes construites à partir de la valeur terminale d’une martingale continue convergent vers cette martingale continue lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro, s’il existe une distance riemannienne convexe sur la variété. La convergence a lieu aussi dans tous les compacts suffisamment petits si la martingale continue a une variation quadratique dominée par un processus déterministe. On retrouve ainsi les résultats de convergence obtenus par Picard avec une définition différente des barycentres.