Structural analysis for the bilinear model with linearly related responses

Zusammenfassung

In einem bilinearen Modell seien die beiden Reaktionsreihen linear voneinander und von den bekannten, zu "Matrizen der Versuchsanordnung" zusammengestellten, unabhängigen Variablen abhängig. Unter der Annahme, daß die durch die Parameter α und β ausgedrückten linearen Abhängigkeiten bekannt sind, werden die Reaktionsreihen als lineares Strukturmodell beschrieben. Die Inferenz der Regressionsparameter und der Dispersionsparameter der transformierten Reaktionsvariablen erfolgt im Rahmen eines Strukturmodells, das die Strukturverteilung der Parameter auf Grund der bekannten Parameter α und β liefert. Die Inferenz über α und β basiert auf der marginalen Likelihoodfunktion von α und β, die aus dem marginalen Wahrscheinlichkeitselement des inversen Bildes der transformierten Reaktionsbahn hervorgeht.

Die Ergebnisse wurden für eine allgemeine Fehlerverteilung des linearen Modells, sodann für die Normalverteilung hergeleitet.

Summary

For a bilinear model the two sets of responses may be linearly related and these linearly related responses may follow linear regression models with known independent variables, usually known as design matrices. Assuming the linear relations expressed by the parameters α und β are known, the responses in the linear form have been described as a structural model. Then inference about the regression parameters and the scale parameters of the transformed responses have been made in the framework of a structural model, which provided the structural distribution for the parameters conditional on known linear relationship parameters α and β. Inference about α and β is based on the marginal probability element of the inverse image of the orbit of the transformed response.

The results have been derived for a general error distribution of the linear model, then have been applied to the normal error model.

Résumé

Dans un modèle bilinéaire, les deux séries de réactions, déterminées à partir de modèles linéaires dont les variables indépendantes figurant dans les "matrices du plan de l’expérience" sont connues peuvent être linéairement dépendantes. En supposant que ces relations linéaires exprimées par les paramètres α et β soient connues on peut décrire les réactions linéaires comme modèle structurel où l’inférence sur les paramètres de régression et d’échelle des réactions transformées est effectuée dans le cadre d’un modèle structurel qui fournit la distribution structurelle pour les paramètres à partir des paramètres connues α et β de la relation linéaire. L’inférence sur α et β se base sur l’élément de probabilité de l’image inverse de l’orbite de la réaction transformée.

Les résultats sont dérivés pour une distribution générale des erreurs et ensuite pour la distribution normale.

Резюме

В двулинейной модели оба реакционных ряда могут зависеть линейно друг от друга а также от известных независимых переменных, составленных в матрицы расположения опыта. Предпологая, что линейные зависимости представленные при помошиα иβ, известны реактионные ряды описываются как линейная структурная модель. Йнференция параметров регрессии и дисперсии трансформированных реакционных переменных происходит в рамках структурной модели, которая дает структурное распределение параметров на основании известных параметровα иβ. Йнференция надα иβ основана на маргинальной функции Лайклихуда, которая истекает из маргинального вероятностного Элемента обратной картины трансформированног о реакционного пути.

Ёти результаты были отведены для обшего ощибочного распределения линейной модели а затем для нормального распределения.