Gauge fixings, evolution generators and world-line conditions in relativistic classical mechanics with constraints

Summary

After a review of the main models for classical relativisticN-particle systems based upon Dirac’s theory of constraints, a detailed study of their Hamiltonian formulation is made. The choice of the arbitrary functions and of the gauge-fixing constraints and the associated realizations of the reduced phase-space and of the observables by means of Dirac brackets are examined in detail. The restrictions on the gauge fixings to obtain compatibility between the evolution in the reduced phase space, generated by the total energy of the system, and the one in the constraint hypersurface, generated by the Dirac Hamiltonian, are found. It is also demonstrated that these restrictions are nothing else than the world-line conditions,i.e. gauge transformations are needed to ensure the objective existence of the world-lines and manifest covariance is broken. This is due to the property of the Dirac brackets of preserving the gauge fixings in every frame of reference. Predictive mechanics and the Currie-Hill world-line conditions are not in contradiction with the previous results: avoiding the Dirac-bracket mechanism, they save the manifest covariance but at the price of using accelerations which are complicated functions of the original potentials depending upon the whole history of the system.

Riassunto

Dopo una rassegna dei principali modelli per sistemi diN particelle classiche relativistiche basati sulla teoria dei vincoli di Dirac, si fa uno studio dettagliato della loro formulazione hamiltoniana. Si esaminano in dettaglio la scelta delle funzioni arbitrarie e dei vincoli per fissare il gauge, e le associate realizzazioni dello spazio delle fasi ridotto e delle osservabili mediante parantesi di Dirae. Si ricavano le restrizioni da imporre sui vineoli di gauge in modo da ottenere compatibilità tra l’evoluzione nello spazio delle fasi ridotto, generata dall’energia totale del sistema, e quella sulla superficie vincolare, generata dall’hamiltoniana di Dirac. Si mostra ehe queste restrizioni non sono altro ehe le condizioni per avere linee d’universo, cioè c’è bisogno di trasformazioni di gauge per assicurare la loro esistenza obbiettiva e quindi la covarianza manifesta è rotta. Ciò è dovuto alla proprietà delle parentesi di Dirac di mantencre i vincoli di gauge in ogui sistema di riferimento. La meccanica predittiva e le condizioni sulle linee d’universo di Currie-Hill non sono in contraddizione coi risultati precedenti: evitando il meccanismo delle parentesi di Dirac la covarianza manifesta è preservata ma al prezzo di usare accelerazioni che sono complicate funzioni dei potenziali originari dipendenti dall’intera storia del sistema.

Резюме

После обзора основны х моделей для классических реляти вистских N-частичиьΙх систем, ос нованиях на дираковс кой теории ограничений, проводи тся подробное исслед ование гамильтоново й формулировки этик м оделей. Подробно гамильтоновой форму лировки этик моделей. Подробно изyчaются выбор произв ольных функций и огра ничений, связанных c фиксирова нием калибровки, и ассоции рованньΙе реализаци и приведеиного фазово го пространства инаблюдаемых c помощь ю скобок Дирака. Опред еляются ограничения на фикси рование калибровки c ц елью получения совме стимости между эволю цией в приведе получения совместим ости между эволюцией в приведенном фазово м пространстве, образ ованном полной энерг ией системы, и эволюци ей приведенном фазовом пространстве, образо ванном полной энерги ей системы, и эволюцие й полной энергией сист емы, и эволюцией на ограниченной гипе рповeрхности, образов анной дираковским гамильт онианом. Также показывается, ч то эти ограничения пр едставляют условия на мировые ли нии: т.е. калибровочные пре образования необход имы для обеспечения объекти вного существования мировых линий и наруш ается явная ковариан тность. Это явля линий и нарушается яв ная ковариантность. Э то является результа том свойства скобок Д ирака, сохраняющих фи ксирование калибров ки в результатом свойств а скобок Дирака, сохра няющих фиксирование калибровки в фиксирование калибр овки в каждой системе отсче та. Предикативная мех аника и условия Кюри-Хилла дл я мировых линий не про тиворечат предыдущи м результатам: избега я механизма скобо предыдущим результа там: избегая механизм а скобок Дирака, они со храняют явную ковари антность, но за счет ис пользования ускорен ий, Дирака, они сохраняют явную ковариантност ь, но за счет использов ания ускорений, использования ускор ений, которые являются сло жными функциями исхо дных потенциалов, зависящ их от всей истории сис темы.