Static multiparticle systems in general relativity

Summary

We develop exact static solutions to the field equations of general relativity that represent axially symmetric distributions of isolated bodies. The solutions obtained do not involve negative mass; the gravitational attraction between the bodies is counterbalanced by the Coulomb repulsion of electrical charges placed on the bodies. Since the assignment of physical interpretations to axially symmetric solutions is not straightforward in general relativity, we also present additional arguments showing that our multiparticle interpretation is indeed correct. Thus we analyse, for the case of two isolated particles, the behavior of the differential invariants and the geodesic motion of test particles, and for all the examples considered we find agreement with our multiparticle interpretation. Our solutions also contain nonsingular event horizons, which we relate to an electrovac theorem recently proved by Israel.

Riassunto

Si sviluppano soluzioni statiche esatte delle equazioni di campo della relatività generale che rappresentano distribuzioni con simmetria assiale di corpi isolati. Le soluzioni ottenute non coinvolgono masse negative; l’attrazione gravitazionale tra i corpi è controbilanciata dalla ripulsione coulombiana delle cariche elettriche poste nei corpi. Poiché l’assegnazione di interpretazioni fisiche alle soluzioni con simmetria assiale non è immediata nella relatività generale, si presentano ulteriori argomenti che mostrano che la nostra interpretazione a moite particelle è proprio corretta. Così si esamina, nel caso di due particelle isolate, il comportamento degli invarianti differenziali e il moto geodesico delle particelle di prova, e in tutti gli esempi presi in considerazione si trova un accordo con la nostra interpretazione a molte particelle. Le nostre soluzioni contengono anche orizzonti di eventi non singolari, che mettiamo in relazione con un teorema sull’elettrovac dimostrato recentemente da Israel.

РЕжУМЕ

Мы РАжВИВАЕМ тОЧНыЕ с тАтИЧЕскИЕ РЕшЕНИь УРАВНЕНИИ пОль ОБЩЕИ тЕОРИИ ОтНОсИтЕльНО стИ, кОтОРыЕ пРЕДстАВ льУт АксИАльНО сИММЕ тРИЧНыЕ РАспРЕДЕлЕН И пРЕДстАВльУт АксИАл ьНО сИММЕтРИЧНыЕ РАс пРЕДЕлЕНИь ИжОлИРОВ АННых тЕл. пОлУЧЕННыЕ РЕшЕНИь НЕ сОДЕРжАт О тРИцАтЕльНОИ МАссы; г РАВИтАцИОННОЕ пРИть жЕНИЕ МЕжДУ ИжОлИРОВАННых тЕл. пО лУЧЕННыЕ РЕшЕНИь НЕ с ОДЕРжАт ОтРИцАтЕльН ОИ МАссы; гРАВИтАцИОН НОЕ пРИтьжЕНИЕ МЕжДУ тЕлАМИ УРАВНОВЕшИВА Етсь кУлОНОВскИМ Отт АлкИВАНИЕМ ЁлЕктРИЧ ЕскИх жАРьДОВ, пОМЕЩЕ ННых НА ЁтИх тЕлАх. т ОтРИцАтЕльНОИ МАссы; гРАВИтАцИОННОЕ пРИт ьжЕНИЕ МЕжДУ тЕлАМИ У РАВНОВЕшИВАЕтсь кУл ОНОВскИМ ОттАлкИВАН ИЕМ ЁлЕктРИЧЕскИх жА РьДОВ, пОМЕЩЕННых НА Ё тИх тЕлАх. тАк кАк пРИп ИсыВАНИЕ ФИжИЧЕскОг О ИстОлкОВАНИь АксИА льНО сИММЕтРИЧНыМ РЕ шЕНИьМ НЕ ьВльЕтсь НЕ пОсРЕДстВЕ тЕлАМИ УРАВНОВЕшИВА Етсь кУлОНОВскИМ Отт АлкИВАНИЕМ ЁлЕктРИЧ ЕскИх жАРьДОВ, пОМЕЩЕ ННых НА ЁтИх тЕлАх. тАк кАк пРИпИсыВАНИЕ ФИж ИЧЕскОгО ИстОлкОВАН Иь АксИАльНО сИММЕтР ИЧНыМ РЕшЕНИьМ НЕ ьВл ьЕтсь НЕпОсРЕДстВЕН НыМ В ОБЩЕИ тЕОРИИ ОтН ОсИтЕльНОстИ, тО Мы тА кжЕ пРЕДлАгАЕМ ДОпОл НИтЕльНыЕ АРгУМЕНты, пОкАжыВАУЩИЕ, ЧтО НАш ЁлЕктРИЧЕскИх жАРьД ОВ, пОМЕЩЕННых НА ЁтИх тЕлАх. тАк кАк пРИпИсы ВАНИЕ ФИжИЧЕскОгО Ис тОлкОВАНИь АксИАльН О сИММЕтРИЧНыМ РЕшЕН ИьМ НЕ ьВльЕтсь НЕпОс РЕДстВЕННыМ В ОБЩЕИ т ЕОРИИ ОтНОсИтЕльНОс тИ, тО Мы тАкжЕ пРЕДлАг АЕМ ДОпОлНИтЕльНыЕ А РгУМЕНты, пОкАжыВАУЩ ИЕ, ЧтО НАшА МНОгОЧАст ИЧНАь ИНтЕРпРЕтАцИь, ДЕИстВИтЕльНО, ьВльЕ тсь кОРРЕктНОИ. Дль сл УЧАь ДВУх ИжОлИРОВАН Ных ЧАстИ кАк пРИпИсыВАНИЕ ФИж ИЧЕскОгО ИстОлкОВАН Иь АксИАльНО сИММЕтР ИЧНыМ РЕшЕНИьМ НЕ ьВл ьЕтсь НЕпОсРЕДстВЕН НыМ В ОБЩЕИ тЕОРИИ ОтН ОсИтЕльНОстИ, тО Мы тА кжЕ пРЕДлАгАЕМ ДОпОл НИтЕльНыЕ АРгУМЕНты, пОкАжыВАУЩИЕ, ЧтО НАш А МНОгОЧАстИЧНАь ИНт ЕРпРЕтАцИь, ДЕИстВИт ЕльНО, ьВльЕтсь кОРРЕ ктНОИ. Дль слУЧАь ДВУх ИжОлИРОВАННых ЧАстИ ц Мы АНАлИжИРУЕМ пОВЕ ДЕНИЕ ДИФФЕРЕНцИАль Ных ИНВАРИАНтОВ И гЕО ДЕжИЧЕскОЕ ДВИжЕНИЕ пРОБНых ЧАстИц. Дль Вс Ех сИММЕтРИЧНыМ РЕшЕНИ ьМ НЕ ьВльЕтсь НЕпОсР ЕДстВЕННыМ В ОБЩЕИ тЕ ОРИИ ОтНОсИтЕльНОст И, тО Мы тАкжЕ пРЕДлАгА ЕМ ДОпОлНИтЕльНыЕ АР гУМЕНты, пОкАжыВАУЩИ Е, ЧтО НАшА МНОгОЧАстИ ЧНАь ИНтЕРпРЕтАцИь, Д ЕИстВИтЕльНО, ьВльЕт сь кОРРЕктНОИ. Дль слУ ЧАь ДВУх ИжОлИРОВАНН ых ЧАстИц Мы АНАлИжИР УЕМ пОВЕДЕНИЕ ДИФФЕР ЕНцИАльНых ИНВАРИАН тОВ И гЕОДЕжИЧЕскОЕ Д ВИжЕНИЕ пРОБНых ЧАст Иц. Дль ВсЕх РАссМОтРЕ ННых пРИМЕРОВ Мы ОБНА РУжИВАЕМ сОглАсИЕ с Н АшЕИ МНОгОЧАстИЧНОИ ИНтЕРпРЕтАцИЕИ. НАшИ РЕшЕНИь сОДЕР ОБЩЕИ тЕОРИИ ОтНОсИт ЕльНОстИ, тО Мы тАкжЕ п РЕДлАгАЕМ ДОпОлНИтЕ льНыЕ АРгУМЕНты, пОкА жыВАУЩИЕ, ЧтО НАшА МНО гОЧАстИЧНАь ИНтЕРпР ЕтАцИь, ДЕИстВИтЕльН О, ьВльЕтсь кОРРЕктНО И. Дль слУЧАь ДВУх ИжОл ИРОВАННых ЧАстИц Мы А НАлИжИРУЕМ пОВЕДЕНИ Е ДИФФЕРЕНцИАльНых И НВАРИАНтОВ И гЕОДЕжИ ЧЕскОЕ ДВИжЕНИЕ пРОБ Ных ЧАстИц. Дль ВсЕх РА ссМОтРЕННых пРИМЕРО В Мы ОБНАРУжИВАЕМ сОг лАсИЕ с НАшЕИ МНОгОЧА стИЧНОИ ИНтЕРпРЕтАц ИЕИ. НАшИ РЕшЕНИь сОДЕ РжАт НЕсИНгУльРНыЕ г ОРИжОНты сОБытИИ, кОт ОРыЕ Мы сВьжыВАЕМ с тЕ ОРЕМОИ, НЕДАВНО ДОкАж АННОИ ИжРАЕлЕМ. ДОпОлНИтЕльНыЕ АРгУ МЕНты, пОкАжыВАУЩИЕ, Ч тО НАшА МНОгОЧАстИЧН Аь ИНтЕРпРЕтАцИь, ДЕИ стВИтЕльНО, ьВльЕтсь кОРРЕктНОИ. Дль слУЧА ь ДВУх ИжОлИРОВАННых ЧАстИц Мы АНАлИжИРУЕ М пОВЕДЕНИЕ ДИФФЕРЕН цИАльНых ИНВАРИАНтО В И гЕОДЕжИЧЕскОЕ ДВИ жЕНИЕ пРОБНых ЧАстИц. Дль ВсЕх РАссМОтРЕНН ых пРИМЕРОВ Мы ОБНАРУ жИВАЕМ сОглАсИЕ с НАш ЕИ МНОгОЧАстИЧНОИ ИН тЕРпРЕтАцИЕИ. НАшИ РЕ шЕНИь сОДЕРжАт НЕсИН гУльРНыЕ гОРИжОНты с ОБытИИ, кОтОРыЕ Мы сВь жыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, НЕД АВНО ДОкАжАННОИ ИжРА ЕлЕМ. МНОгОЧАстИЧНАь ИНтЕ РпРЕтАцИь, ДЕИстВИтЕ льНО, ьВльЕтсь кОРРЕк тНОИ. Дль слУЧАь ДВУх И жОлИРОВАННых ЧАстИц Мы АНАлИжИРУЕМ пОВЕД ЕНИЕ ДИФФЕРЕНцИАльН ых ИНВАРИАНтОВ И гЕОД ЕжИЧЕскОЕ ДВИжЕНИЕ п РОБНых ЧАстИц. Дль ВсЕ х РАссМОтРЕННых пРИМ ЕРОВ Мы ОБНАРУжИВАЕМ сОглАсИЕ с НАшЕИ МНОг ОЧАстИЧНОИ ИНтЕРпРЕ тАцИЕИ. НАшИ РЕшЕНИь с ОДЕРжАт НЕсИНгУльРН ыЕ гОРИжОНты сОБытИИ, кОтОРыЕ Мы сВьжыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, НЕДАВНО ДО кАжАННОИ ИжРАЕлЕМ. ьВльЕтсь кОРРЕктНОИ. Дль слУЧАь ДВУх ИжОлИ РОВАННых ЧАстИц Мы АН АлИжИРУЕМ пОВЕДЕНИЕ ДИФФЕРЕНцИАльНых ИН ВАРИАНтОВ И гЕОДЕжИЧ ЕскОЕ ДВИжЕНИЕ пРОБН ых ЧАстИц. Дль ВсЕх РАс сМОтРЕННых пРИМЕРОВ Мы ОБНАРУжИВАЕМ сОгл АсИЕ с НАшЕИ МНОгОЧАс тИЧНОИ ИНтЕРпРЕтАцИ ЕИ. НАшИ РЕшЕНИь сОДЕР жАт НЕсИНгУльРНыЕ гО РИжОНты сОБытИИ, кОтО РыЕ Мы сВьжыВАЕМ с тЕО РЕМОИ, НЕДАВНО ДОкАжА ННОИ ИжРАЕлЕМ. ЧАстИц Мы АНАлИжИРУЕ М пОВЕДЕНИЕ ДИФФЕРЕН цИАльНых ИНВАРИАНтО В И гЕОДЕжИЧЕскОЕ ДВИ жЕНИЕ пРОБНых ЧАстИц. Дль ВсЕх РАссМОтРЕНН ых пРИМЕРОВ Мы ОБНАРУ жИВАЕМ сОглАсИЕ с НАш ЕИ МНОгОЧАстИЧНОИ ИН тЕРпРЕтАцИЕИ. НАшИ РЕ шЕНИь сОДЕРжАт НЕсИН гУльРНыЕ гОРИжОНты с ОБытИИ, кОтОРыЕ Мы сВь жыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, НЕД АВНО ДОкАжАННОИ ИжРА ЕлЕМ. ИНВАРИАНтОВ И гЕОДЕж ИЧЕскОЕ ДВИжЕНИЕ пРО БНых ЧАстИц. Дль ВсЕх Р АссМОтРЕННых пРИМЕР ОВ Мы ОБНАРУжИВАЕМ сО глАсИЕ с НАшЕИ МНОгОЧ АстИЧНОИ ИНтЕРпРЕтА цИЕИ. НАшИ РЕшЕНИь сОД ЕРжАт НЕсИНгУльРНыЕ гОРИжОНты сОБытИИ, кО тОРыЕ Мы сВьжыВАЕМ с т ЕОРЕМОИ, НЕДАВНО ДОкА жАННОИ ИжРАЕлЕМ. Дль ВсЕх РАссМОтРЕНН ых пРИМЕРОВ Мы ОБНАРУ жИВАЕМ сОглАсИЕ с НАш ЕИ МНОгОЧАстИЧНОИ ИН тЕРпРЕтАцИЕИ. НАшИ РЕ шЕНИь сОДЕРжАт НЕсИН гУльРНыЕ гОРИжОНты с ОБытИИ, кОтОРыЕ Мы сВь жыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, НЕД АВНО ДОкАжАННОИ ИжРА ЕлЕМ. сОглАсИЕ с НАшЕИ МНОг ОЧАстИЧНОИ ИНтЕРпРЕ тАцИЕИ. НАшИ РЕшЕНИь с ОДЕРжАт НЕсИНгУльРН ыЕ гОРИжОНты сОБытИИ, кОтОРыЕ Мы сВьжыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, НЕДАВНО ДО кАжАННОИ ИжРАЕлЕМ. РЕшЕНИь сОДЕРжАт НЕс ИНгУльРНыЕ гОРИжОНт ы сОБытИИ, кОтОРыЕ Мы с ВьжыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, Н ЕДАВНО ДОкАжАННОИ Иж РАЕлЕМ. кОтОРыЕ Мы сВьжыВАЕМ с тЕОРЕМОИ, НЕДАВНО ДО кАжАННОИ ИжРАЕлЕМ. ИжРАЕлЕМ.