Self-energy considerations in general relativity and the exact fields of charge and mass distributions

Summary

Exact solutions of the field equations of general relativity are obtained for the case of static and spherically symmetric distributions of mass and charge, providing interior solutions for the continuation of the Reissner-Nordström metric to the origin. In the limit in which the charge density vanishes our solutions reduce to the familiar interior Schwarzschild solution and a more general interior solution found by Tolman. The exact solutions permit the computation of the self-energy contributions to the total gravitational mass, in particular those contributions due to the effect of the charge upon the metric. The results are presented in terms of a power series expansion in the gravitational constant. The possible singularities of the metric are discussed and the self-energy analysis is applied to a classical model of the pion to illustrate the magnitude of the gravitational effects in a familiar example.

Riassunto

Si ottengono le soluzioni esatte delle equazioni di campo della relatività generale nel caso di distribuzioni statiche ed a simmetria sferica della massa e della carica, che forniscono soluzioni interne per la continuazione della metrica di Reissner-Nordström sino all'origine. Nel limite in cui la densità di carica tende a zero le nostre soluzioni si riducono alla familiare soluzione interna di Schwarzschild e a una più generale soluzione interna trovata da Tolman. Le soluzioni esatte consentono il calcolo dei contributi dell'autoenergia alla massa gravitazionale totale, in particolare di quei contributi dovuti all'effetto della carica sulla metrica. Si presentano i risultati sotto forma di uno sviluppo in serie di potenze della costante gravitazionale. Si discutono le possibili singolarità della metrica e si applica l'analisi dell'autoenergia ad un modello classico del pione per illustrare la grandezza degli effetti gravitazionali in un caso familiare.

Резюме

Получаются точные решения уравнений поля в общей теории относительности для случая статических и сферически симметричных распределений массы и заряда, которые обеспечивают внутренние решения для продолжения метрики Рейснера-Нордстрёма в начало координат. В предельном случае, когда зарядовая плотность обращается в нуль, наши решения сводятся к известному внутреннему решению Шварцшильда и к более общему внутреннему решению, найденному Толманом. Точные решения допускают вычисления собственно-энергетических вкладов в суммарную гравитационную массу, в частности, эти вклады обусловлены влиянием заряда на метрику. Приводятся результаты в виде разложения в стеленной ряд по гравитационной постоянной. Обсуждаются возможные особенности метрики, и собственно-энергетический анализ применяется к классической модели пиона, чтобы проиллюстрировать величину гравитационных эффектов в известном примере.