Renormalization of the scalar field theory with spontaneously broken discrete symmetry without shifting the field vaccum expectation value

Summary

The one-loop renormalization of theλϕ ⁴ theory with a spontaneous breaking of its discrete (reflection) symmetry is analyzed. It is explicitly shown that it is not necessary to forcefully eliminate the linear counterterm in the shifted field (accomplished usually by shifting the vacuum expectation value of the field) in order to have the renormalized Lagrangian still formally invariant under the original discrete symmetry. It is further shown, using the normal-ordering procedure, that the renormalization carried out in the customary form completely wipes out the tadpole diagram contributions from the original Lagrangian. As a consequence, the same renormalized Lagrangian can be also obtained from the original bare Lagrangian which, however, has been normal-ordered and as such cannot cause the linear counterterm in the shifted field since now the tadpole diagrams are absent altogether. These analyses, we believe, should support the view that the vacuum expectation value of the field is of a group-theoretical origin rather than a field-theoretical origin, and as such should not change independently of the shifted field in the course of renormalization.

Riassunto

Si analizza la teoriaλϕ ⁴ di rinormalizzazione ad un loop con una spontanea rottura della simmetria (di riflessione) discreta. Si mostra esplicitamente che non è necessario eliminare forzatamente il controtermine lineare nel campo spostato (ottenuto di solito variando il valore atteso nel vuoto del campo) per avere la lagrangiana rinormalizzata ancora formalmente invariante con l'originaria simmetria discreta. Si mostra inoltre che, usando il procedimento di ordinamento normale, la rinormalizzazione svolta nella forma ordinaria cancella completamente i contributi dei diagrammi tadpole dall'originaria lagrangiana. In conseguenza si può ottenere la stessa lagrangiana rinormalizzata da quella originaria pura, la quale, tuttavia, è stata ordinata normalmente e come tale non può originare il controtermine lineare nel campo spostato poiché ora i diagrammi tadpole sono completamente assenti. Si crede che queste analisi dovrebbero confermare l'ipotesi secondo la quale il valore atteso nel vuoto del campo ha come origine la teoria dei gruppi piuttosto la teoria dei campi e come tale non dovrebbe cambiare indipendentemente dallo spostamento del campo nel corso della rinormalizzazione.

Резюме

Анализируется одно-петельная перенормировка теорииλϕ ⁴ со спонтанным нарушением дискретной (отражение) симметрии. В явном виде показывается, что не обязательно исключать линейный контрчлен в сдвинутом поле (обычно осуществляется за счет смещения вакуумной ожидаемой величины для поля), чтобы получить перенормированный Пагранжиан, формально инвариантный относительно исходной дискретной симметрии. Затем показывается, используя процедуру нормального упорядочения, что перенормировка, проведенная обычным образом, полностью уничтожает вклады «головастиковых» диаграмм из исходного Пагранжиана. Как следствие, можно получить перенормированный Пагранжиан из исходного голого лагранжиана, который является нормально упорядоченным и как таковой не может давать линейный контрчлен в сдвинутом поле, т.е. «головастиковые» диаграммы отсутствуют. Приведенный анализ подтверждает точку зрения, что вакуумная ожидаемая величина для поля имеет теоретикогрупповое происхождение и не должна изменяться независимо от сдвинутого поля в процессе перенормировки.