Über die Aufteilung des Risikos bei Vereinbarung einer Franchise

Zusammenfassung

Die Arbeit berichtet im ersten Teil über die Ermittlung des durch eine Franchise bewirkten Schadenentlastungseffekts auf der Basis einer umfangreichen Schadenstatistik von hochsummigen Feuer-Industrie-Risiken. Damit die Ergebnisse möglichst auch auf andere Risiken oder WÄhrungen übertragbar sind, wird die Franchise hier in Prozent der Versicherungssumme ausgedrückt, wobei auch das Verhalten für hohe Franchisen-ProzentsÄtze untersucht wird. Durch zwei verschiedene Verfahren, den Entlastungseffekt zu berechnen, ergibt sich zusÄtzlich eine allgemein verwendbare Möglichkeit, aufgrund kollektiver Schadendaten eine Aussage über die HomogenitÄt des Kollektivs zu machen. Weiter wird gezeigt, da\ die von der Pareto-Verteilung abgeleiteten speziellen Entlastungseffekt-Kurven nach links bis zum Nullpunkt fortgesetzt werden können, auch wenn der Pareto-Parameter α> 0 (aber < 1) ist. Die auf diese Weise für α = 0,65 entstehende Entlastungseffekt-Kurve stimmt gut mit den empirischen Daten der untersuchten Risikengruppe überein.

Im zweiten Teil der Arbeit (ab Abschnitt 10) werden einige allgemeine Eigenschaften von Entlastungseffekt-Kurven zusammengestellt. Sie ermöglichen zunÄchst eine recht anschauliche grafische Darstellung für die Grö\e der Varianz der Gesamtschadenverteilung, die Grö\e der Varianz des Franchisennehmers und die Grö\e der dem Versicherer verbleibenden Varianz. Diese grafische Darstellung wird dann zum Beweis zweier weiterer Aussagen benutzt. Zuerst wird gezeigt, da\ die Summe der Standardabweichungen von Franchisennehmer und Versicherer stets grö\er ist als die Standardabweichung ohne Franchisenvereinbarung (anders als bei proportionaler Risikoteilung). Anschlie\end wird bewiesen, da\ der oft als Risikoma\ verwendete Variationskoeffizient für den Versicherer bei Vereinbarung einer Franchise stets grö\er ist als ohne Franchise und auch stets grö\er als der Variationskoeffizient des Franchisennehmers. Beides ist zumindest für die Klasse der Pareto-Verteilungen um so stÄrker der Fall, je ungefÄhrlicher die Schadenverteilung ist. Einige Auswirkungen dieser Erkenntnisse auf die Anwendung und Babattierung von Franchisen werden kurz besprochen.

Summary

On the basis of comprehensive loss statistics of Industrial Fire risks with high sums insured, the first part of the paper deals with the calculation of the loss-elimination effect achieved by the application of a deductible. So that the results can be applied to other risks and other currencies, the deductible is expressed as a percentage of the sum insured, and the behaviour of high deductibles is examined. Two different procedures for calculating the elimination effect lead to a generally applicable approach to making a statement about the homogeneity of the collective on the basis of collective loss data. Furthermore, it is demonstrated that the special eliminationeffect curves derived from the Pareto distribution can be continued to the left down to zero, even if the Pareto parameter a is > 0 (but < 1). The elimination-effect curve resulting in this way for α = 0.65 corresponds well to the empirical data for the group of risks examined.

The second part assembles several general characteristics of elimination-effect curves. It is first of all possible to draw a fairly instructive graph of the size of the variances of the overall loss distribution, of that of the carrier of the deductible and that left over for the insurer. This graph is then used to prove two further statements. First, it is shown that the sum of the standard deviations of the deductible carrier and the insurer is always greater than in the absence of a deductible (by contrast with proportional risk sharing). Then it is proved that the insurer’s coefficient of variation, often used as a measure of risk, is always greater with a deductible than without it and also always greater than the deductible carrier’s coefficient of variation. In both instances this is all the more so at least for the class of Pareto distributions the less hazardous the distribution of losses. The paper ends with brief remarks on the impact of these findings on the use and the granting of discounts for deductibles.