A geometrical formulation of electrodynamics

Summary

A geometrical formulation of electrodynamics is presented. This formulation is based on a nonlinear constraint for the electromagnetic potential. As a consequence of the constraint, a three-dimensional photon field is associated with the co-ordinates of a symmetric space of constant negative curvature. A formalism covariant under general co-ordinate transformations is constructed and extended, in a manner analogous to that used in general relativity, to include spinor realizations. A generally covariant Lagrangian density is exhibited and shown to be equivalent, by a suitable redefinition of the fields, to the usual electrodynamics. In such an approach a close relationship between Lorentz invariance and the electromagnetic interaction is manifest.

Riassunto

Si presenta una formulazione geometrica dell'elettrodinamica. Questa formulazione è fondata su un vincolo non lineare per il potenziale elettromagnetico. Come conseguenza del vincolo, un campo tridimensionale per il fotone è associato alle coordinate di uno spazio simmetrico a curvatura costante e negativa. Un formalismo covariante per trasformazioni generali delle coordinate è costruito ed esteso, analogamente a quanto fatto in relatività generale, in modo da includere realizzazioni spinoriali. Una densità di lagrangiana con covarianza generale è esibita e, tramite un'opportuna ridefinizione dei campi, la sua equivalenza con l'usuale elettrodinamica è dimostrata. Nel suddetto approccio un'intima relazione tra l'invarianza di Lorentz e le interazioni elettromagnetiche è resa manifesta.

Резюме

Предлагается геометрическая формулировка электродинамики. Эта формулировка основана на нелинейном ограничении для электромагнитного потенциала. Вследствие этого ограничения трехмерное фотонное поле однозначно связано с координатами симметричного пространства постоянной отрицательной кривизны. Конструируется формализм, ковариантный относительно общих преобразований координат. С помощью метода, аналогичного методу, использованному в общей теории относительности, этот формализм обобщается, чтобы включить спинорные реализации. В явном виде записывается ковариантная плотность Лагранжиана и показывается, что она эквивалентна обычной электродинамике, при соответствующем переопределении полей. В таком подходе в явном виде проявляется тесная связь между Лоренц-инвариантностью и электромагнитным взаимодействием.