On quantum field theory. II: Non-perturbative equations and methods

Summary

The evaluation of an element of theU-matrix between arbitrary initial and final states is reduced to that of a kernel, whose form depends only upon the number of particles involved and is given explicity as a perturbative expansion. Kernels are shown to satisfy systems of «branching equations», which hold independently of perturbation methods and can be taken as the axiomatic foundation of the theory, Lorentz covariance being manifest. Complete systems of such equations are given for the kernels and their derivatives with respect to the interaction strength λ: all other conceivable equations among kernels are necessarily deducible from them. All kernels corresponding to processes involving real bosons can be obtained, with simple integrations, from the kernels for purely fermionic processes; the branching equations for these are also explicity given and suffice to define the theory. A kernel, with its first and second λ-derivatives, satisfies a single integral relation. A variety of approximation methods are immediately deducible from the branching equations; they, while extending and generalizing the known ones, always permit, at least in principle, tests of convergence. Questions of renormalization, existence of solutions, etc., will be studied in the sequel to this paper.

Riassunto

Il calcolo di un elemento della matriceU tra stati iniziale e finale arbitrari viene ricondotto a quello di un «nucleo», la cui espressione, dipendente solo dal numero delle particelle coinvolte, è data, esplicitamente, come sviluppo perturbativo. Si dimostra che tali nuclei soddisfano sistemi di «equazioni di diramazione» che valgono indipen-dentemente da metodi perturbativi e possono essere prese come fondamento assiomatico della teoria, la covarianza relativistica risultando evidente. Si danno sistemi completi di equazioni siffatte per i nuclei e per le loro derivate rispetto all’intensità di interazione λ; ogni altra possibile equazione essendo necessariamente deducibile da quelle scritte. Tutti i nuclei corrispondenti a processi coinvolgenti bosoni reali sono ottenibili, con semplici integrazioni, da quelli relativi a processi tra soli fermioni; le equazioni di diramazione per questi ultimi, date anche esplicitamente, bastano a definire la teoria. Un nucleo e le sue derivate prima e seconda rispetto a λ soddisfano un’unica relazione integrale. Le equazioni di diramazione possono essere approssimate con una varietà di metodi, che, mentre estendono e generalizzano quelli noti, permettono sempre, almeno in linea di principio, lo studio della convergenza. Questioni di rinormalizzazione, esistenza di soluzioni, ecc., verranno studiate nel seguito a questo lavoro.