Conformally covariant massless spin-two field equations

Summary

An explicit proof is constructed to show that the field equations for a symmetric tensor fieldh _ab describing massless spin-2 particles in Minkowski space-time are not covariant under the 15-parameter groupSO _4,2; this group is usually associated with conformal transformations on flat space, and here it will be considered as aglobal gauge group which acts upon matter fields defined on space-time. Notwithstanding the above noncovariance, the equations governing the rank-4 tensorS _abcd constructed fromh _ab are shown to be covariant provided the contractionS _ab vanishes. Conformal covariance is proved by demonstrating the covariance of the equations for the equivalent 5-component complex field; in fact, covariance is proved for a general field equation applicable to massless particles of any spin >0. It is shown that the noncovariance of theh _ab equations may be ascribed to the fact that the transformation behaviour ofh _ab is not the same as that of a field consisting of a gauge only. Since this is in contradistinction to the situation for the electromagnetic-field equations, the vector form of the electromagnetic equations is cast into a form which can be duplicated for theh _ab-field. This procedure results in an alternative, covariant, field equation forh _ab.

Riassunto

Si costruisce una prova esplicita per mostrare che le equazioni di campo per un campo tensoriale simmetricoh _ab che descrive particelle prive di massa con spin 2 nello spaziotempo di Minkowski non sono covarianti secondo il gruppoSO _4,2 a 15 parametri; questo gruppo è di solito associato alle trasformazioni conformi sullo spazio piatto, e qui sarà considerato un gruppoglobale di gauge che agisce su campi di materia definiti sullo spazio-tempo. Nonostante la covarianza di cui sopra, si mostra che le equazioni che regolano il tensore di rango 4S _abcd costruito dah _ab sono covarianti, purché la contrazioneS _ab si annulli. Si prova la covarianza conforme dimostrando la covarianza delle equazioni del campo equivalente complesso a 5 componenti; infatti si prova la covarianza per una equazione generale di campo applicabile a particelle prive di massa con spin > 0. Si mostra che la non covarianza delle equazionih _ab si può imputare al fatto che il comportamento di trasformazione dih _ab non è lo stesso di un campo che consiste in una gauge solamente. Poichè questo è in contraddizione con la situazione delle equazioni del campo elettromagnetico, la forma vettoriale delle equazioni elettromagnetiche è posta in una forma che può essere duplicata per il campoh _ab. Questa procedura si risolve in una equazione di campo alternative e covariante perh _ab.

Резюме

Доказывается, что уравнения поля для симметричного тензорного поляh _ab, описывающего безмассовые частицы со спином 2 в пространстве-времени Минковского, не являются ковариантными относительно 15-параметрической группыSO _4,2. Эта группа обычно связана с конформными преобразованиями на плоском пространстве. В этой работе эта группа будет рассматриваться, как глобальная калибровочная группа, которая действует на поля вещества, определенные на пространстве-времени. Показывается, что уравнения, определяющие тензор четвертого рангаS _abcd, сконструированный изh _ab, являются ковариантными, если свертывание тензораS _ab обращается в нуль. Доказывается конформная ковариантность, демон-стрируя ковариантность уравнений для эквивалентного пяти-компонентного комплексного поля, в действительности, доказывается ковариантность для общего полевого уравнения, описывающего безмассовые частицы с любым спином > 0. Показывается, что нековариантность уравненийh _ab может быть приписана тому, что поведениеh _ab не является таким же, как поведение калибровочного поля. Так как этот результат противоречит ситуации для уравнений электромагнитного поля, то векторная форма электромагнитных уравнений представляет форму, которая может быть дубликатом дляh _ab поля. Предложенная процедура приводит к альтернативному, ковариантному уравнению поля дляh _ab.