Reflection groups and internal-symmetry algebras

Summary

It is shown that to discrete Abelian reflection groups in pseudo-Euclidean space there correspond, in spinor index space, non-Abelian groups whose anticommuting elements build up Lie algebras; in particular, two reflections, with respect to orthogonal planes, and their product build up asu _2,c algebra. Conditions are given for these «reflection algebras» to beinternal-symmetry algebras (commuting with the Poincaré algebras). When covariance with respect to the «extended» conformal group (conformal transformations and reflections) is postulated, the full use of 8-component conformal spinors is necessary. The conformal spinor is either a doublet of canonical Dirac spinors (Dirac basis) or a doublet of conformal Cartan semi-spinors (eigenstates ofΓ ₇) (semi-spinor basis). The two bases correspond toequivalent representations in index space, but they give rise tophysically nonequivalent spinor equations in Minkowski space: Dirac spinors of the doublet may give rise separately to free particles; semi-spinors do not: they obey coupled spinor equations and they transform into each other for any reversal (including space reversal). The conformal reflection group may generate «internal symmetry algebras»,u _2,c for massive spinors,u _2,c,L⊕u _2,c,R for massless ones. Possible conformal covariant Lagrangians with «internal-symmetry algebras» are discussed. It appears that the simplest conformally covariant interaction Lagrangians may naturally represent weak interactions. Next, the groupO _4,4 (orO _5,3 orO _6,2) containing conformal and Poincaré groups as subgroups is studied. Reflection groups inV ⁹ give rise tou ₄ «internal symmetry algebra», which becomesu _4,L⊕u _4,R for massless spinors. Theu ₄ internal symmetry algebra acts onV ⁸ spinors, which may either be quadruplets of Dirac spinors (Dirac basis) or three independent quadruplets of conformal semi-spinors (semi-spinor basis); on these acts au ₃ algebra orthogonal to theu ₄ above. It is shown that conformal semi-spinors may not exist as free fields individually in Minkowski space, since they obey coupled equations, but only in systems and precisely an even number (≥2) for bosons and odd (≥3) for fermions. Furthermore, these systems must be singlets of theu ₃ algebra. The analogy ofV ⁸ spinor properties with leptons, when in the Dirac basis, and with coloured quarks, when in the Cartan semi-spinor basis, is emphasized and discussed.

Riassunto

Si mostra come, a gruppi abeliani, finiti, di riflessioni rispetto a piani ortogonali in spazi pseudo-euclidei, corrispondano, nello spazio spinoriale degli indici, gruppi non abeliani i cui elementi formano algebre di Lie; in particolare due riflessioni rispetto a piani ortogonali e il loro prodotto costituiscono un’algebrasu _2,c . Si danno condizioni affinché queste «algebre di riflessioni» siano «algebre di simmetria interna» (commutanti con l’algebra di Poincaré) per una data teoria di campo. Quando si postula la covarianza di una teoria di campo rispetto al gruppo conforme «esteso» (trasformazioni del gruppo conforme e riflessioni) è necessario l’uso, nella teoria, di tutte e otto le componenti degli spinori conformi. Questi spinori possono essere o un doppietto di spinori di Dirac (base di Dirac) o un doppietto di semispinori conformi di Cartan (autostati diΓ ₇) (base semispinoriale). Le due basi corrispondono a due rappresentazioniequivalenti del gruppo conforme nello spazio degli indici ma esse danno luogo a equazioni spinorialifisicamente non equivalenti nello spazio di Minkowski: gli spinori di Dirac del doppietto conforme possono dar luogo (se quantizzati) a fermioni che possono esistere separatamente come particelle libere; ciò invece non è possibile per i semispinori del doppietto (nella base semispinoriale) in quanto i semispinori obbediscono (se massivi) a equazioni accoppiate e inoltre essi si trasformano l’uno nell’altro per ogni riflessione incluse quelle spazio-temporali. Le riflessioni caratteristiche del gruppo conforme possono dar luogo a un’ «algebra di simmetria interna»u _2,c per spinori con massa eu _2,c,L⊕u _2,c,R per spinori senza massa. Sono discussi possibili lagrangiani con «algebre di simmetria interna». Sembra che i più semplici lagrangiani d’interazione conformi (vettoriali) possano essere atti a rappresentare in modo naturale le proprietà delle interazioni deboli, mentre i tensoriali possono rappresentare le interazioni elettromagnetiche. Si studia il gruppoO _4,4 (oppureO _5,3 oO _6,2) avente il gruppo conforme e quello di Poincaré come sottogruppi. I gruppi di riflessioni inV ⁸ danno luogo a un’ «algebra di simmetria interna»u ₄ che diventau _4,L⊕u _4,R per spinori senza massa. L’ «algebra di simmetria interna»u ₄ agisce su spinori inV ⁸ che possono essere quadrupletti di spinori di Dirac (base di Dirac) oppure tre quadrupletti equivalenti ma fisicamente indipendenti di semispinori conformi (base semispinoriale); su questi agisce un’algebrau ₃ ortogonale allau ₄ precedentemente citata. I semispinori delle basi semispinoriali non possono sussistere liberi singolarmente (se massivi) nello spazio di Minkowski, in quanto obbediscono a equazioni accoppiate, ma solo in sistemi e precisamente di un numero pari di essi (≥2) per bosoni e in numero dispari (≥3) per fermioni. Questi sistemi devono costituire singoletti dell’algebrau ₃. Si mettono in luce le analogie degli spinori inV ⁸ con quadrupletti di leptoni (nella base di Dirac) e con quadrupletti di quark colorati (nella base semispinoriale).

Резюме

Показывается, что дискретные абелевы группы отражения в псевдоэвклидовых пространствах соответствуют в пространстве спинорных индексов неабелевым группам, чьи антикоммутирующие элементы образуют алгебры Ли. В частности, два отражения относительно ортогональных плоскостей и их произведение образует алгебруsu _2,c . Приводятся условия, при которых эти «алгебры омражения» являются «алзебрами внумренних симметрий» (коммутирующими с группой Пуанкаре). Когда постулируется ковариантность относительно «обощенной» конформной группы (конформные преобразования и отражения), требуется использование восьми-компонентных конформных спиноров. Конформный спинор является либо дублетом канонических дираковских спиноров (дираковский базис), либо дублетом конформных картановских полуспинорных собственных состоянийΓ ₇ (полуспинорный базис). Эти два базиса соответствуютэквивалентным представлениям в пространстве индексов, но они приводят кфизицески незквивалентным спинорным уравнениям в пространстве Минковского. Дираковские спиноры дублета могут возникать отдельно от свободных частиц; а полуспиноры не могут: они подчиняются связанным спинорным уравнениям и они преобразуются друг в друга для произвольного обращения (включая обращение пространства). Конформная группа отражения может образовывать «алгебры внутренних симметрий»,u _2,c для массивных спиноров,u _2,c,L⊕u _2,c,R для безмассовых спиноров. Обсуждаются конформные ковариантные Лагранжианы с «алгебрами внутренних симметрий». Оказывается, что простейшие конформно ковариантные Лагранжианы взаимодействия могут представлять слабые взаимодействия. Затем исследуется группаO _4,4 (илиO _5,3, илиO _6,2), содержащая конформные группы и группы Пуанкаре, как подгруппы. Группы отражения вV ⁸ приводят кu ₄ «алгебре внутренней симметрии», которая превращаетсяu _4,L⊕u _4,R для безмассовых спиноров.u ₄ алгебра внутренней симметрии действует наV ⁸ спиноры, которые могут быть либо квадруплетами спиноров Дирака (дираковский базис) или представляют три независимых квадруплета конформных полуспиноров (полуспинорный базис); на которые действуетu ₃ алгебра, ортогональнаявышеуказанной алгебреu ₄. Показывается, что конформные полуспиноры не могут существовать отдельно, как свободные поля, в пространстве Минковского, так как они подчиняются связанным уравнениям, а существуют только в системах с четным числом (≥2) для бозонов и с нечетным числом (≥3) для фермионов. Кроме того, эти системы должны быть синглетами дляu ₃ алгебры. Отмечается и обсуждается аналогия свойствV ⁸ спиноров с лептонами, в случае базиса Дирака, и с цветными кварками, в случае полуспинорного базиса Картана.