Kinetic derivation of nonstationary general relativistic thermodynamics

Summary

Chernikov, who generalized Grad’s thirteen-moment method for an approximate formal solution of the Boltzmann equation to the case of the general relativistic Boltzmann equation (applicable also to a photon gas), did not exploit his formalism completely but developed the last eight moment equations for dissipation phenomena no further than a stationary theory. However, this stationary theory results in the possibility of the dissipation processes propagating with infinite speed, which is not acceptable. In this paper the complete Chernikov thirteen-moment approximation is developed to obtain nonstationary transport equations, providing linearized collision integrals, for heat and viscous stresses which lead only to finite dissipation speeds. The flux, density and entropy production and therefore the entropy-balance equation representing the second law of thermodynamics is approximated in terms of moments (and microscopic quantities) at the nonstationary level. An expression for entropy production is also deduced as a linear function of the collision integrals. Furthermore, the Gibbs equation, free energy and chemical potential are given in a nonstationary form. A linearized nonstationary heat-conduction equation is derived for a system in mechanical equilibrium without viscous stresses.

Riassunto

Chernikov, che ha generalizzato il metodo dei 13 impulsi di Grad per una soluzione formale approssimata dell’equazione di Boltzmann al oaso dell’equazione di Boltzmann relativistica generale (applicabile anche ad un gas di fotoni), non ha sfruttato completamente il suo formalismo ma ha sviluppato le ultime equazioni di 8 impulsi per i fenomeni di dissipazione non oltre una teoria stazionaria. Comunque questa teoria stazionaria ha come risultato la possibilità che i processi di dissipazione si propaghino con velocità infinite, il ehe non è accettabile. In questo articolo si sviluppa la compléta approssimazione dei 13 impulsi di Chernikov per ottenere equazioni di trasporto non stazionarie, che forniscono integrali di collisione linearizzati, per il calore e gli sforzi viscosi, che portano solo a velocità di dissipazione finite. Si approssima la produzione di flusso, densità ed entropia, e quindi l’equazione del bilancio dell’entropia, ehe rappresenta la seconda legge délia termodinamica, in termini di impulsi (e quantità microscopiche) al livello non stazionario. Si deduce anche un’espressione per la produzione di entropia corne funzione lineare degli integrali di collisione. Inoltre si dànno in forma non stazionaria l’equazione di Gibbs, l’energia libera ed il Potenziale chimico. Si deduce un equazione linearizzata della conduzione di calore non stazionaria per un sistema in equilibrio meccanico senza sforzi viscosi.

РЕжУМЕ

ЧЕРНИкОВ ОБОБЩИл МЕт ОД тРИНАДцАтИ МОМЕНт ОВ гРАДА Дль пРИБлИжЕНН ОгО ФОРМАльНОгО РЕшЕНИь УРАВНЕНИь БОльцМАНА НА слУЧАИ УРАВНЕНИь БОльцМАНА В ОБЩЕИ тЕОРИИ ОтНОсИ тЕльНОстИ (пРИМЕНИМО гО тАкжЕ к ФОтОННОМУ гАжУ). ОДНАк О, ОН НЕ ИспОльжОВАл сВО И ФОРМАлИжМ пОлНОсть У, НО РАжВИл УРАВНЕНИь пОслЕДНИх ВОсьМИ МОМЕНтОВ Дль Д ИссИпАтИВНых ьВлЕНИ И, НО тОлькО В стАцИОНАРНОИ тЕОРИИ. ЁтА стАцИОНАРНАь тЕО РИь пРИВОДИт к ВОжМОж НОстИ ДИссИпАтИВНых пРОцЕ ссОВ, РАспРОстРАНьУЩ Ихсь с БЕскОНЕЧНыМИ скОРО стьМИ, ЧтО ьВльЕтсь НЕ пРИЕМлЕМыМ. В ЁтОИ стАтьЕ РАссМАтРИВАЕ тсь пОлНОЕ пРИБлИжЕН ИЕ тРИНАДцАтИ МОМЕНтОВ Дль пОлУЧЕНИь НЕстАцИОНАРНых тРАН спОРтНых УРАВНЕНИИ, п РИ УслОВИИ лИНЕАРИжАцИИ ИНтЕгР АлОВ стОлкНОВЕНИь, Дль тЕМ пЕРАтУРНых И ВьжкОст Ных НАпРьжЕНИИ, кОтОРыЕ п РИОДьт тОлькО к кОНЕЧНыМ скО РОстьМ ДИссИпАцИИ. пО тОк, плОтНОсть И РОжДЕНИЕ ЁНтРОпИИ И, слЕДОВАтЕльНО, УРАВ НЕНИЕ БАлАНсА ЁНтРОп ИИ, пРЕДстАВльУЩЕЕ ВтОР ОИ жАкОН тЕРМОДИНАМИ кИ, АппРОксИМИРУУтсь ЧЕ РЕж МОМЕНты (И МИкРОск ОпИЧЕскИЕ ВЕлИЧИНы) НА НЕстАцИОНАРНОМ УР ОВНЕ. тАкжЕ ВыВОДИтсь ВыРАжЕНИЕ Дль РОжДЕНИь ЁНтРОпИ И, кАк лИНЕИНАь ФУНкцИь ИНтЕгРАлОВ стОлкНОВ ЕНИь. кРОМЕ тОгО, В НЕстАцИОНАРНО И ФОРМЕ пРИВОДьтсь УРА ВНЕНИЕ гИББсА, сВОБОД НАь ЁНЕРгИь И хИМИЧЕскИИ пОтЕНцИ Ал. ВыВОДИтсь лИНЕАРИжО ВАННОЕ НЕстАцИОНАРН ОЕ УРАВНЕНИЕ тЕплОпРОВОДНОстИ Дл ь сИстЕМы В сОстОьНИИ МЕхАНИЧЕ скОгО РАВНОВЕсИь БЕж ВьжкОстНых НАпРьжЕНИИ.