A discontinuity formula for physical-region singularities

Summary

The methods of homology theory are applied to an analytic function defined initially as the integral of an analytic function over a compact subset of a submanifold of a real Euclidean space whose boundary is piecewise analytic. Under the assumption that the integrand is meromorphic and only has simple poles a discontinuity formula is established for real singularities of the integral corresponding to simple pinches involving the poles of the integrand and the boundary surfaces of the region of integration. It is argued that this formula still applies when the integrand has other singularities provided none of these participates in the pinch. The formula is then generalized to the case of a simple pinch involving branch-point singularities as well as simple poles and boundary surfaces, and the modifications necessary when the integrand has branch-point singularities on its boundary surfaces are discussed.

Riassunto

Si applicano i metodi della teoria dell’omologia ad una funzione analitica definita inizialmente come l’integrale di una funzione analitica rispetto ad un sottogruppo compatto di una sottomolteplicità di uno spazio euclideo reale il cui contorno è partitamente analitico. Nell’ipotesi che l’integrando sia meromorfico e abbia solo poli semplici, si scrive una formula di discontinuità per le singolarità reali dell’integrale corrispondenti a semplici pliche che interessano i poli dell’integrando e le superfici di contorno della zona di integrazione. Si argomenta che questa formula si applica ancora quando l’integrando ha altre singolarità purché nessuna di questi partecipi alla plica. Si generalizza poi la formula al caso di una plica semplice che interessa singolarità di punto di biforcazione oltre a poli semplici e superfici di contorno, e si discutono le modifiche necessarie quando l’integrando ha singolarità di punto di biforcazione nelle sue superfici di contorno.