A rotating spheroid as a possible source of the Kerr metric

Summary

The gravitational field of a spheroid of small eccentricity ε, rotating steadily about its axis of symmetry, is calculated, inside and outside the spheroid, up to the orderk ⁵ using the Florides-Synge method of successive approximations;k is a small dimensionless parameter of the order (m/b)^1/2 wherem is the gravitational mass andb a typical radius of the spheroid. Assuming that the constantsm anda appearing in the Kerr (exterior) metric are of the orderk ² andk, respectively, we show that the Kerr metric, up to the orderk ⁵, is precisely the (exterior) field of the rotating spheroid. The eccentricity of the spheroid is directly related to the angular momentuma per unit mass of the spheroid. Since in the Florides-Synge method the field is calculated simultaneously inside and outside the spheroid, we automatically have an interior Kerr solution up to the orderk ⁵. Arguments are put forward indicating that the spheroid cannot consist of perfect fluid.

Riassunto

Si calcola il campo gravitazionale di uno sferoide con piccola eccentricità ε, che ruota stazionariamente attorno al suo asse di simmetria, all’interno e all’esterno dello sferoide fino al quinto grado ink, servendosi del metodo delle approssimazioni successive di Florides-Synge;k è un piccolo parametro adimensionale dell’ordine di (m/b)^1/2 in cuim è la massa gravitazionale eb un raggio tipico dello sferoide. Se si suppone che le costantim ea che figurano nella metrica (esterna) di Kerr siano del secondo e primo grado ink, rispettivamente, si dimostra che la matrice di Kerr, fino al quinto grado ink, è esattamente il campo (esterno) dello sferoide rotante. L’eccentricità dello sferoide è in relazione diretta con l’impulso angolarea per unità di massa dello sferoide. Dato che secondo il metodo di Florides-Lynge si calcola il campo simultaneamente dentro e fuori lo sferoide, si ha automaticamente una soluzione di Kerr interna fino al quinto grado ink. Si portano avanti delle argomentazioni che indicano che lo sferoide non può essere fatto di un fluido perfetto.

Резюме

Используу метод последовательных приближений Флоридса-Синга, вычисляется гравитационное поле сфероида с малым эксценириситетом ε, равномерно вращающегося вокруг собственной оси симметрии. Поле вычисляется внутри и вне сфероида вплоть до порядкаk ⁵, гдеk представляет малыи безразмерный параметр порядка (m/b)^1/2,m есть гравитационная масса иb есть радиус сфероида. Предполагая, что постоянныеm иa, появляющиеся в (внешней) метрике Керра, имеют соответственно порядокk ² иk, показывается, что метрика Керра, вплоть ди порядкаk ⁵, в точности представляет (внешнее) поле вращающегося сфероида. Эксцентриситет сфероида непосредственно связан с моментомa на единицу массы сфероида. Так как в методе Флоридса-Синга поле вычисляется одновременно внутри и вне сфероида, мы автоматически получаем внутреннее решение Керра вплоть до порядкаk ⁵. Приводятся аргументы, указывающие, что сфероид не может состоять из идеальной Зидкости.