Phonons in a strong static magnetic field

Summary

The Hamiltonian of an ionic crystal lattice in the harmonic approximation and in the presence of a static magnetic field is diagonalized in terms of creation and annihilation operators. Phonon energies and polarizations are determined in this theory by means of the solutions of an eigenvalue problem of the first kind with twice the dimension of the corresponding problem without magnetic field. The energy eigenvalues of the Hamiltonian are linear combinations of the phonon energies ħω_j(k) with integers as coefficients, just as in the case without a magnetic field. For crystals in which every ion is at a center of inversion symmetry the phonon spectrum will conserve its inversion symmetry ink-space. For crystals without inversion symmetry this will no longer be true. In every case the polarizations of the phonons will be elliptical.

Riassunto

Si diagonalizza l’hamiltoniana di un reticolo cristallino ionico nell’approssimazione armonica ed in presenza di un campo magnetico statico in termini degli operatori di creazione ed annichilazione. Si determinano in questa teoria le energie e le polarizzazioni dei fononi per mezzo delle soluzioni di un problema di autovalori di prima specie con dimensione doppia del corrispondente problema senza campo magnetico. Gli autovalori dell’energia dell’hamiltoniano sono combinazioni delle energie dei fotoni ħω_j(k) con interi come coefficienti, proprio come nel caso senza campo magnetico. Per i cristalli in cui ciascun ione è al centro della simmetria di inversione lo spettro dei fononi conserva la sua simmetria di inversione nello spaziok. Per cristalli senza simmetria di inversione questo non è più vero. In ogni caso le polarizzazioni dei fononi sono ellittiche.

Резюме

B терминах операторов рождения и уничтожен ия диагонализируется Г амильтониан ионной к ристаллической реше тки в гармоническом п риближении кристаллической реш етки в гармоническом приближении и в прису тствии статического магнитного поля. B этой теории определяются энергии фононов и пол я и в присутствии стати ческого магнитного п оля. B этой теории опред еляются энергии фоно нов и поляризации c пом ощью решений проблем ы собственных значен ий первого теории определяются энергии фононов и пол яризации c помощью реш ений проблемы собств енных значений перво го помощью решений проб лемы собственных зна чений первого первого рода c вдвое большей ра змерностью соответс твующей проблемы без магнитн ого поля. Собственные зна чения энедгии этого Гамильтониана предс тавляют линейные ком бинации энергий фоно вое ħωj(k) с целочисленн ы ми коq энергий фоновое ħωj(k) с целочисленны ми коэф фициентами, подобно т ому как в случае отсут ствия магнитного пол я. Для кристаллов, в кот орых каждый подобно тому как в слу чае отсутствия магни тного поля. Для криста ллов, в которых каждый Для кристаллов, в кото рых каждый ион расположен в цент ре симметрии инверси и, фононный спектр будет сохраня ть симметрию инверсии в k-пpocтpaнcтвe. Для кристалло в без симметрии инверсии этот результат будет уже несправедлив. B каж дом случае поляризации фононов являются эллиптичес кими.