Theory of the low-energy pion-pion interaction — II

Summary

It is shown that whenP-wave pion-pion scattering is large at low energies, the integral equations previously formulated by the authors require a cut-off. Because of the cut-off and the unstable nature of the solution, the numerical integration procedure becomes much more involved. The original equations are therefore replaced by a series of conditions at the symmetry point, and the unphysical cuts of the partial-wave amplitudes are replaced by a corresponding series of poles. Within this framework one need not speak of a cut-off, but one new parameter appears. Self-consistent solutions can be found in which aP-wave resonance is sustained by a « bootstrap » mechanism; that is, a strong attractive force in theI=1 state results from the exchange of a resonating pair ofP-wave pions. The symmetry-point conditions used would be modified by the cut-off and quantitative accuracy is not attempted; however, this and other corrections are not expected to change the qualitative nature of our solutions. Rough estimates of the corrections are made.

Riassunto

Si mostra che quando lo scattering pione-pione in ondaP è grande a basse energie, le equazioni integrali formulate in precedenza dagli autori richiedono un cut-off. Per il cut-off e per la natura instabile della soluzione, il procedimento di integrazione numerica diviene molto più complicato. Le equazioni originarie vengono perciò sostituite da una serie di condizioni al centro di simmetria, ed i tagli non fisici delle ampiezze delle onde parziali sono sostituiti da una corrispondente serie di poli. Entro questo schema non occorre parlare di un cut-off, ma compare un nuovo parametro. Si possono trovare soluzioni autocongruenti in cui una risonanza dell’ondaP è sostenuta da un meccanismo a « stringa »; cioè una intensa forza di attrazione nell statoI=1 nasce dallo scambio di una coppia in risonanza di pioni dell’ondaP. Le condizioni nel centro di simmetria adottate sarebbero modificate dal cut-off e non si tenta, pertanto, di raggiungere la esattezza quantitativa; tuttavia non ci si attende che questa ed altre correzioni modifichino la natura qualitativa delle nostre soluzioni. Si fanno alcune grossolane valutazioni delle correzioni.