On the uniqueness of a potential fitting a scattering amplitude at a given energy

Summary

It is shown that when a scattering amplitude is known to be produced by a superposition of Yukawa potentials, the exact knowledge of the scattering amplitude at a given energy determines in a unique way the potential. This is established in two steps: i) by proving that, once the physical scattering amplitude is known, the discontinuity across the cut in the complex plane of the momentum transfer is uniquely defined; ii) by establishing the rigorous connection between this discontinuity and the potential. In order to be fitted by a superposition of Yukawa potentials at a given energy a scattering amplitude has to satisfy certain conditions which are investigated. The treatment can be modified in order to include the case of exchange forces.

Riassunto

Dimostriamo che quando si sa che un’ampiezza di scattering è prodotta dalla sovrapposizione di potenziali di Yukawa, la conoscenza esatta dell’ampiezza di scattering a una data energia determina univocamente il potenziale. Questo viene dimostrato in due passaggi successivi: 1) dando la prova che, quando è nota l’ampiezza fisica di scattering, la discontinuità sul taglio nel piano complesso del trasferimento dell’impulso è univocamente definita; 2) determinando la rigida connessione fra la discontinuità ed il potenziale. Per essere approssimata da una sovrapposizione di potenziali di Yukawa ad una data energia, l’ampiezza di scattering deve soddisfare ad alcune condizioni che vengono ricercate. Il procedimento può essere modificato in modo da includere il caso delle forze di scambio.