Renormalization group representations and the Callan-Symanzik equation

Summary

We obtain the implications on the renormalization group representations of a renormalizable theory of the fact that the functionsβ(g) andγ(g) of the Callan-Symanzik equation are finite at every order of perturbation theory. We also study asymptotic behaviour and we conclude that it is impossible to decide from perturbation theory data if the behaviour for large momenta is independent or not of the coupling constantg. We explicitly exhibit, adopting an example of Jouvet, a mechanism leading to ag-dependent behaviour and which is consistent with all perturbation theory constraints. The situation is characterized by the global functionβ(g)≡0 although its perturbation series is different from zero.

Riassunto

Si ottengono le implicazioni sulle rappresentazioni del gruppo di rinormalizzazione di una teoria rinormalizzabile dovute al fatto che le funzioniβ(g) eγ(g) dell’equazione di Callan-Symanzik sono finite ad ogni ordine della teoria delle perturbazioni. Si studia anche il comportamento asintotico e si conclude che è impossibile decidere in base ai dati della teoria delle perturbazioni se il comportamento a grandi impulsi è o no indipendente dalla costante di accoppiamentog. Si presenta esplicitamente, adottando un esempio di Jouvet, un meccanismo che conduce ad un comportamento dipendente dag e che è consistente con tutti i vincoli della teoria delle perturbazioni. La situazione è caratterizzata dalla funzione globaleβ(g)≡0 sebbene la sua serie perturbativa sia differente da zero.

Реэюме

Мы находим, что для представлений группы перенормировки перенормируемой теории функцииβ(g) иγ(g) уравнения Челлена-Симанэика окаэываются конечными в каждом порядке теории воэмушений. Мы также исследуем асимптотическое поведение и приходим к выводу, что иэ данных теории воэмушений невоэможно рещить, эависит ли поведение при больщих импульсах от константы свяэиg или не эависит. На примере Джуве мы в явном виде рассматриваем механиэм, приводяший к эависяшему отg поведению и который согласуется со всеми ограничениями теории воэмушений. Рассмотренная ситуация характериэуется глобальной функциейβ(g)≡0, хотя ее ряд теории воэмушений отличен от нуля.