Cancellation in the off-shell eikonal watson series

Summary

An explicit evaluation of the off-shell 3-body scattering amplitude in the eikonal approximation shows that the first two terms of the Watson multiple-scattering series,i.e. terms corresponding to the single and double scattering, if averaged with a bound-state wave function, give the exact answer. We find that

$$ \ll p'q'|\tilde U_{\beta \beta } |pq \gg _d = \ll p'q'|\tilde T_\alpha + \tilde T_\gamma - \frac{1}{{\left( {2\pi } \right)^2 \mu }}\left( {\tilde T_\alpha \tilde G_0 \tilde T_\gamma + \tilde T_\gamma \tilde G_0 \tilde T_\alpha } \right)|pq \gg _d ,$$

, where

$$ \ll p'q'|\tilde U_{\beta \beta } |pq \gg _d \int {d^3 q'} \int {d^3 q\psi _d^* \left( {q'} \right)\left\langle {p'q'|\tilde U_{\beta \beta } |} \right\rangle pq\psi _d \left( q \right)} ,$$

, Ũ_ββ is the 3-body Lovelace scattering amplitude, and$\tilde T$ _α $\tilde T$ _γ are 2-body scattering amplitudes, written in the 3-body space. All these amplitudes are calculated in the appropriate eikonal approximation. It is essential to have on the right-hand side of our formula the whole eikonal free Green’s function, containing both the principal part and theδ-part. When the on-shell 3-body amplitude is calculated, we obtain the ordinary Glauber formula, and we recover the cancellation pointed out by Harrington.

Riassunto

Una valutazione esplicita dell’ampiezza di scattering di 3 corpi fuori strato nell’approssimazione iconale mostra che i primi due termini della serie di Watson dello scattering multiplo, cioè i termini corrispondenti allo scattering singolo e doppio, se mediati con una funzione d’onda di stato legato, danno l’esatta risposta. Si trova che

$$ \ll p'q'|\tilde U_{\beta \beta } |pq \gg _d = \ll p'q'|\tilde T_\alpha + \tilde T_\gamma - \frac{1}{{\left( {2\pi } \right)^2 \mu }}\left( {\tilde T_\alpha \tilde G_0 \tilde T_\gamma + \tilde T_\gamma \tilde G_0 \tilde T_\alpha } \right)|pq \gg _d ,$$

, dove

$$ \ll p'q'|\tilde U_{\beta \beta } |pq \gg _d \int {d^3 q'} \int {d^3 q\psi _d^* \left( {q'} \right)\left\langle {p'q'|\tilde U_{\beta \beta } |} \right\rangle pq\psi _d \left( q \right)} ,$$

, Ũ_ββ è l’ampiezza di scattering di Lovelace di 3 corpi e$\tilde T$ _α $\tilde T$ _γ sono ampiezze di scattering di 2 corpi, scritte nello spazio di 3 corpi. Tutte queste ampiezze si calcolano nell’opportuna approssimazione iconale. È essenziale avere nella parte destra della formula l’intera funzione iconale libera di Green, contenente sia la parte principale che la parteδ. Quando si calcola l’ampiezza di 3 corpi sullo strato, si ottiene l’ordinaria formula di Glauber e si ritrova la cancellazione indicata da Harrington.

Реэуме

Точное вычисление трех-частичнои амплитуды рассеяния вне массовои поверхности в зиконаляном приблизении покаэывает, что первые два члена ватсоновского ряда многократного рассеяния, т.е. члены, соответствуушие однократному и двукратному рассеяниу, при усреднении с волновои функциеи свяэанного состояния, даут точныи реэулятат. Мы получаем, что_{iα γ}, Гдe, естя трех-частичная амплитуда рассеяния Лавлеиса и представляут двух-частичные амплитуды рассеяния, эаписанные в трех-частичном пространстве. Все зти амплитуды вычисляутся в соответствуушем зиконаляном приблизении. Следует отметитя, что в правои части нащеи формулы стоит полная зиконаляная свободная функция Грина, содерзашая и главнуу частя и δ-функциу. Когда вычисляется трех-частичная амплитуда на массовои поверхности, мы получаем обычнуу формулу Глаубера, и мы снова приходим к вэаимному уничтозениу, укаэанному Харрингтоном.