Nonlinear response—a general perturbative treatment

Summary

A formal theory of the nonlinear response is given using the Volterra expansion of the effect in terms of the external driving cause. The related functional derivatives are interpreted as generalized transfer functions. This approach includes different perturbative expansions such as those used for instance in circuit analysis and quantum mechanics (Green’s function method). In particular the time-ordered Kubo’s formula is deduced. This treatment can also describe nonstationary processes and naturally takes into account spatial dispersion. As an example of the applicability of the method, a generalized Klein-Gordon model equation is considered, the role of spatial dispersion discussed, and a hierarchy of nonlocal transfer functions obtained. The expression of nonlinear susceptibilities in terms of linear susceptibility allows an extension of Miller’s rule to orders higher than the second order and to nonlocal problems as well.

Riassunto

Si presenta una teoria formale della risposta non lineare tramite lo sviluppo in serie di Volterra dell’effetto in funzione della causa forzante. Le derivate funzionali che compaiono nello sviluppo sono interpretate come funzioni di trasferimento generalizzate. Questa formulazione comprende diverse trattazioni di tipo perturbativo come, ad esempio, quelle usate in teoria dei circuiti o in meccanica quantistica (metodo delle funzioni di Green a molti tempi). In particolare si deduce la formula di Kubo con ordinamento temporale. Questa trattazione può anche descrivere processi non stazionari e tiene conto automaticamente della dispersione spaziale. Come esempio dell’applicabilità del metodo si considera un’equazione generalizzata di Klein-Gordon, si discute il ruolo della dispersione spaziale e si ricava la gerarchia delle funzioni di trasferimento non locali. Questa mette in evidenza un legame tra le suscettività non lineari e la suscettività lineare; a questo proposito si discute la possibilità di estendere la regola di Miller agli ordini superiori.

Резюме

Предлагается формальная теория нелинейного отклика, используя разложение Вольтера для рассматриваемого эффекта по внешнему задающему источнику. Связанные функциональные производные интерпретируются как обобщенные функции переноса. Этот подход включает различные пертурбационные разложения, такие, как например, разложения, используемые при анализе цепей и в квантовой механике (метод функций Грина). В частности, выводится упорядоченная по времени формула Кубо. Предложенное рассмотрение позволяет также описать нестационарные процессы и естественным образом учесть пространственную дисперсию. Как пример применимости метода, рассматривается уравнение Клейна-Гордона. Обсуждается роль пространственной дисцерсии и получается иерархия нелокальных функций переноса. Выражение для нелинейных восприимчивостей через линейную восприимчивость позволяет обобщить правило Миллера на случай более высоких порядков, чем второй, а также на случай нелокальных проблем.