The field theoretic definition of the nuclear potential — III

Summary

The scattering of nucleons at energies below the meson production threshold is discussed; the amplitude is a sum of five terms, each proportional to a different spin invariant. A comparison in perturbation theory, between the field-theoretic amplitude and that from potential theory enables one to conclude that a potential which will reproduce the field-theoretic amplitude through the two-meson exchange contributions exists. This potential is also a sum of five terms and is « local » in the sense that for a suitable choice of the spin-dependent operators, their coefficients are energy-independent. The potential is derived, apart from radiative and rescattering corrections; it is again observed that the static limit (μ/M → 0) is not well defined. The spectral functions for the potential are calculated. Rescattering corrections, etc., are discussed and, assuming simple analyticity properties for Feynman graphs, are shown not to destroy the locality of the potential. It is not yet possible to furnish a proof independent of perturbation theory that a potential exists, as was done for spinless particles in Part I, because the necessary dispersion relations have not been proved; in fact it is not even known for which choice of spin invariants they might be expected to hold. Some clues as to this choice of « proper » spin invariants are afforded by the limitations imposed in order that the fourth-order potential be energy-independent.

Riassunto

Si discute lo scattering dei nucleoni ad energie inferiori alla soglia di produzione dei mesoni; l’ampiezza è una somma di cinque termini, ciascuno proporzionale ad un differente invariante di spin. Un confronto nella teoria della perturbazione fra l’ampiezza di campo teoretico e quella derivante dalla teoria del potenziale permette di concludere che esiste un potenziale che riproduce l’ampiezza di campo teoretico tramite le contribuzioni di scambio di due mesoni. Anche questo potenziale è una somma di cinque termini ed è « locale » nel senso che, con una opportuna scelta degli operatori derivanti dallo spin, i suoi coefficienti sono indipendenti dall’energia. Si deduce il potenziale a prescindere da correzioni di radiazione e riscattering; si osserva ancora che il limite statico (μ/M → 0) non è ben definito. Si calcolano le funzioni spettrali per il potenziale. Si discutono le correzioni di riscattering, ecc. e, postulando semplici proprietà di analiticità per i diagrammi di Feynman, si dimostra che non distruggono la localizzazione del potenziale. Non è ancora possibile dare una prova, indipendente dalla teoria della perturbazione, dell’esistenza del potenziale, come è stato fatto per particelle senza spin nella parte I, perchè non sono state ancora provate le necessarie relazioni di dispersione; infatti non è ancora noto per quale scelta degli invarianti di spin ci si può aspettare che esse siano valide. Alcuni indizi su questa scelta di « adatti » invarianti di spin vengono forniti dalle limitazioni imposte perchè il potenziale di quarto ordine sia indipendente dall’energia.