New dispersion relations and their application to partial-wave amplitudes

Summary

After reviewing the commonly used dispersion relations, a systematic investigation of more generalized dispersion relations on parametrized curves in the Mandelstam plane fors-u crossing-symmetric amplitudes is made with the aim of obtaining dispersion relations which receive contributions from all three channels, however, in such a way that knowledge of the absorptive parts is only required in regions well inside the various Lehmann ellipses. In addition we require that the dispersion relations receive no contributions from kinematic singularities arising from the parametrization and that they allow partial-wave projections to be made in a relatively simple manner. It is found that dispersion relations on hyperbolic curves in the Mandelstam plane are a natural solution of the problem. The dispersion relations are written in a remarkably simple form similar to the usual fixed-t dispersion relation but with an additionalt-channel contribution. As an interesting application, we derive generalized partial-wave dispersion relations for elastic pion-nucleon scattering, where the left-hand cut contribution is explicitly given by convergent partial-wave series in the crossed channels.

Riassunto

Dopo avere riesaminato le relazioni di dispersione comunemente impiegate, si studiano relazioni di dispersione più generalizzate, definite su curve parametrizzate nel piano di Mandelstam, per le ampiezzes-u a simmetria incrociata, con lo scopo di ottenere relazioni di dispersione che ricevano contributi da tutti e tre i canali; tuttavia, in tal modo, la conoscenza delle parti che determinano l’assorbimento è richiesta soltanto in regioni completamente interne alle varie ellissi di Lehmann. Inoltre si richiede che le relazioni di dispersione non ricevano contributi da singolarità cinematiche derivanti dalla parametrizzazione e che consentano di effettuare in un modo relativamente semplice proiezioni di onde parziali. Si trova che relazioni di dispersione definite su curve iperboliche nel piano di Mandelstam rappresentano una soluzione naturale del problema. Le relazioni di dispersione sono rappresentate in una forma notevolmente semplice, simile a quella delle consuete relazioni di dispersione che si ottengono tenendo fissa la variabilet, ma con un contributo supplementare al canalet. Un’interessante applicazione consiste nell’ottenere relazioni di dispersione generalizzate (per onde parziali) per lo scattering elastico pione-nucleone, nel quale il contributo dei tagli a sinistra viene rappresentato esplicitamente nei canali incrociati da una serie convergente di onde parziali.

Реэюме

Пересмотрев обычно испольэуемые дисперсионные соотнощения, про-водится систематическое исследование наиболее обобшенных дисперсионных соотно-щений на параметриэованных кривых в плоскости Манделстама дляs-u кроссинг-симметрич ных амплитуд, с целью получения дисперсионных соотнощений, которые воспринимают вклады от всех трех каналов. Однако в зтом случае требуется энание абсорбционных частей только в областях внутри раэличных зллипсов Лемана. Кроме того, мы требуем, утобы дисперсионные соотнощения не имели вкладов от кинематических сингулярностей, воэникаюших от параметриэации, и чтобы они давали воэможность проиэводить парциальное проектирование относительно простым обраэом. Получается, что дисперсионные соотнощения на гиперболических кривых в плоскости Манделстама преставляют естественное рещение проблемы. Дисперсион-ные соотнощения эаписываются в очень простой форме, аналогично обычному дисперсионному соотнощению при фиксированномt, но с дополнительным вкладомt канала. Как применение зтого подхода, мы выводим обобшенные парциальные дисперсионные соотнощения для упругого пион-нуклонного рассеяния, где вклад левостороннего раэреэа явно выражается череэ сходяшийся парциальный ряд в перекрестных каналах.