General Langrangians for the motion of a point particle in a viscous medium and the problem of quantization

Summary

Starting from the general conditions that allow a given set of equations of motion to be cast in Euler-Lagrange form, a general Lagrangian is derived for equations almost everywhere equivalent to$m\ddot x + m\gamma \dot x = 0$; some different special cases are worked out. The canonical quantization procedure is performed for there examples, always obtaining time-dependent vanishing commutators between particle position and kinetic momentum. A physical interpretation for the results is discussed.

Riassunto

Partendo dalle condizioni generali che consentono di porre un dato insieme di equazioni del moto nella forma di Eulero-Lagrange, si ricava una lagrangiana generale per equazioni quasi quasi dovunque equivalenti a$m\ddot x + m\gamma \dot x = 0$; sono poi esplicitamente trattati alcuni casi particolari. Su tre esempi si applica il processo canonico di quantizzazione, ottenendo sempre commutatori tra posizione e momento cinetico della particella che si annullano col tempo. Un’interpretazione fisica dei risultati è brevemente discussa.

Резюме

Исходя из общих условий, которым удовлетворяет заданная система уравнений движения в форме уравнений Эйлера-Лагранжа, выводится общий лагранжиан для уравнений, почти везде эквивалентных$m\ddot x + m\gamma \dot x = 0$. Рассматриваются различные специальные случаи. Для трех примеров осуществляется процедура канонического квантования, причем всегда получаются зависящие рт времени, обращающиеся в нуль коммутаторы между положением частицы и импульсом. Обсуждается физическая интерпретация полученных результатов.