Geometry from quantum mechanics

Summary

A model is proposed in which the standard commutation relations of quantum mechanics are realized in phase space by representing both position and momentum operators as absolute covariant derivatives, whose commutator, taken over from QM, is the curvature of phase space. When ℏ→0, theq andp subspaces become disconnected and classical mechanics is recovered. Bohr-Sommerfeld quantization rules for integer and half-integer values, nonrelativistic and relativistic QM with Klein-Gordon and Dirac equations follow without further assumptions. It appears that models of this sort are apt to describe particles with internal degrees of freedom and may lead to a unified description of QM and GR, somewhat in accordance with Born’s reciprocity principle.

Riassunto

Si descrive un modello in cui le regole di commutazione della meccanica quantistica sono realizzate nello spazio delle fasi, rappresentando gli operatori posizione e momento come derivate covarianti assolute, il cui commutatore, determinato dalla MQ, descrive la curvatura dello spazio. Allorché ℏ→0, i sottospaziq ep si disconnettono e si ritrova il limite classico. Si ritrovano, senza ulteriori ipotesi, le regole di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, la MQ non relativistica e relativistica, le equazioni di Klein-Gordon e Dirac. Modelli di tale natura sembrano atti a descrivere particelle con gradi interni di libertà, nonché ad una descrizione unificata di MQ e RG, alquanto nello spirito del principio di reciprocità di Born.

Резюме

Предлагается модель, в которой реализуются стандартные коммутационные соотношения квантовой механики в фазовом пространстве, представляя операторы положения и импульса в виде абсолютных ковариантных производных. Коммутатор этих операторов, взятый из квантовой механики, описывает кривизну фазового пространства. При ℏ→0 подпространстваq иp становятся несвязанными и происходит переход к пределу классической механики. Без дополнительных предположений получаются правила квантования Бора-Зоммерфельда, нерелятивистская и релятивистская квантовая механика, уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Модели такого типа удобны для описания частиц с внутренними степенями свободы. Эти модели могут приводить к единому описанию квантовой механики и общей теории относительности, в соответствии с принципом обратимости Борна.