Exponential asymptotic behaviour and low-energy pion-pion scattering

Summary

A new approach to low-energy π-π scattering is described in which it is assumed that, because of the very short range of the important forces in this problem, the distant singularity structure is relatively important. It is remarked that the exponential decrease of the amplitude at fixed angle observed experimentally, which also corresponds to the maximum rate of decrease allowed theoretically in a reasonableS-matrix theory, gives information about this structure. The high-energy and low-energy phenomena are connected by using the fixed-angle method to calculate the partial-wave amplitudes at low energy. A representation is conjectured which contains the correct asymptotic behaviour as well as the nearby part of the left-hand cut which is known from crossing symmetry. A formal solution, analogous to the full determinantalN/D method, is presented. In a simple, but fairly realistic model an additional attractive potential is produced by the asymptotic left-hand cut; it is suggested that this may be responsible for the missing attraction in the ρ bootstrap mechanism.

Riassunto

Si descrive un nuovo metodo di approssimazione allo scattering π-π di bassa energia, in cui si suppone che, a causa del cortissimo raggio d'azione delle forze importanti in questo problema, la struttura della singolarità distante è relativamente importante. Si nota che il decremento esponenziale dell'ampiezza ad angolo fisso osservata sperimentalmente, che corrisponde anche al massimo rapporto di decremento teoricamente consentito da una ragionevole teoria della matriceS, dà informazioni su questa struttura. Si connettono i fenomeni di alta e di bassa energia facendo uso del metodo dell'angolo fisso per calcolare le ampiezze di onda parziale a bassa energia. Si escogita una rappresentazione che contiene il comportamento asintotico corretto ed anche la parte prossimale del taglio sinistro che è nota dalla simmmetria incrociata. Si presenta una soluzione formale, analoga al metodoN/D determinantale completo. In un modello semplice, ma abbastanza realistico un ulteriore potenziale attrattivo è prodotto dal taglio sinistro asintotico; si suggerisce che questo può essere responsabile della mancante attrazione nel meccanismo di boot-strap del ⌕.