Two-particle correlation function and conservation laws. — III

Summary

Starting from the Bethe-Salpeter type of equation in momentum space for the temperature-dependent equilibrium correlation function, the question of what approximations in the kernelΞ and the self-energy partΣ conserve particle number as well as total energy and momentum has been analysed. It has been shown that this is equivalent to asking theΞ, Σ andG to satisfy five special identities. A simple diagrammatic analysis tells us that these identities are satisfied whenever the kernelΞ(G) has been derived from opening all the propagator linesG of the self-energy partΣ(G). As an example, the linearized Boltzmann equation is considered from this viewpoint. Finally, the customary microscopic conservation laws for energy and momentum are derived as a first-order expansion in the wave-vectorq.

Riassunto

Partendo dall’equazione del tipo di Bethe-Salpeter nello spazio degli impulsi per la funzione di correlazione di equilibrio dipendente dalla temperatura, si è studiata la questions di quali approssimazioni nel noccioloΞ e nella parte dell’autoenergiaΣ conservino il numero di particelle e l’energia e 1’impulso totali. Si è dimostrato che ciò equivale a richiedere cheΞ, Σ eG soddisfino cinque speciali identità. Una semplice analisi diagrammatica ci dice che queste identità sono soddisfatte ogni qualvolta il noccioloΞ(G) sia stato dedotto aprendo tutte le linee propagatriciG della parte dell’autoenergiaΣ(G). Come esempio si considera da questo punto di vista l’equazione di Boltzmann linearizzata. Inflne si deducono le solite leggi di conservazione microscopica dell’energia e dell’impulso, come sviluppo del primo ordine nel vettore d’ondaq.