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Literatur
Vgl. etwaG. Valiron, Théorie des fonctions, 109–111.
W. Habicht, Zur inhomogenen Eliminationstheorie, Comm. Math. Helv.
Vgl.B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra I, Kap. 11, §§ 67, 68, sowieArtin-Schreier, Algebraische Konstruktion reeller Körper, Hamb. Abh. 5 (1927), 85–99.
Als Beispiel sei erwähntE. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Hamb. Abh.5 (1927), 2. Teil, S. 104. Dort wird folgende Tatsache benützt: Istf(x)=u 0 x n+…+u n das allgemeine Polynomn-ten Grades undK ein reell-abgeschlossener Körper, so gibt es eine Kette von endlich vielen ganzen rationalen Funktionen ϕ s (u) deru mit rationalen Koeffizienten von der Art, daß für spezielleu v ausK die Vorzeichenverteilung in der Kette ϕ s (u) Aufschluß gibt über die Anzahl der verschiedenen reellen Wurzeln der für dieseu v spezialisierten funktionf(x).—Dies entspricht dem Spezialfallg=f′ unseres Reduktionssatzes (vgl. § 3,2) (anstatt die Werte der Kettenpolynome in zwei festen Punkten zu bilden, nehme man deren Anfangskoeffizienten, mit geeigneten Vorzeichen versehen).
Die Forderung über die Grade ist nur scheinbar speziell; in Wirklichkeit umschließt sie alle möglichen Fälle als Spezialfälle (vgl. auch § 2,1).
Diese einzige Bedingung, welche wir an die Spezialisierung knüpfen, bedeutet für die späteren Anwendungen ebenfalls keine Einschränkung.
Vgl. Anm. 5.
Γ bedeutet den Ring der ganzen Zahlen,R den Körper der rationalen Zahlen.
Wegen der Anordnungseigenschaften und der Beziehungen vgl.B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra I, Kap. 10, § 63, 209 ff.
Vgl. Anmerkung 3.
Es sei bemerkt, daß dasBolzanosche Prinzip hier noch nicht wesentlich in unsere Betrachtungen eingreift; man könnte nämlich den Index auch ohne das Postulat der reellen Abgeschlossenheit mit Hilfe der Ableitungen des Polynoms definieren. Hingegen ist dies bei dern-dimensionalen Verallgemeinerung des Begriffes, welche in einer späteren Arbeit behandelt werden soll, nicht mehr möglich.
Hier wird dasBolzanosche Prinzip zum erstenmalwesentlich benützt.
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Habicht, W. Eine Verallgemeinerung des Sturmschen Wurzelzählverfahrens. Commentarii Mathematici Helvetici 21, 99–116 (1948). https://doi.org/10.1007/BF02568028
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568028