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Literatur
Wir schließen uns hier und im folgenden an die Darstellung der Eliminationstheorie inB. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra II (Berlin 1940), Kap. XI, an.
Entweder-oder im nicht ausschließenden Sinn. Unter einer Nullstelle des Formensystems (h 1,…,h n ) verstehen wir immer eine nichttriviale Nullstelle.
Das soll heißen: es gibt ein von Null verschiedenes Polynom Φ(v) in denv allein, dessen Nichtverschwinden bei einer Spezialisierung derv für die erwähnten Eigenschaften hinreichend ist.
Vgl. hierzu:B. L. v. d. Waerden, Moderne Algebra I (Berlin 1941), Kap. X.
D. h. es istf * k (ξ)=0 , (k=1, …,n), und die Nullstelle ist bezüglich des Systems (f 1* ,…f n* ) einfach.
Wir definieren den Index also nur für einfache Nullstellen und vernachläßigen ein durch die Orientierung desR n gegebenes Vorzeichen. Dies genügt für die Zwecke der vorliegenden Arbeit; übrigens läßt sich der in § 3 beschriebene Reduktionsprozeß bei Spezialisierungen mit mehrfachen Nullstellen überhaupt nicht mehr durchführen.
Vgl.:A. Alexandroff-H. Hopf, Topologie, Kap. XIII.
Vgl. a. a. O.4), Vgl.:A. Alexandroff-H. Hopf, Topologie, Kap. XI, § 67.
Vgl. a. a. O.7). Vgl:A. Alexandroff-H. Hopf, Topologie, Kap. XIII.
Vgl. zu den ersten drei Abschnitten: a. a. O.1), § § 81, 82 (9–15).
Etwas allgemeiner als bei v. d. Waerden (a. a. O. 70); vgl. auch: A. Hurwitz, Über die Trägheitsformen eines algebraischen Moduls, Ann. mat. 20 (1913).
Γ bedeute hier und im folgenden den rationalen Zahlenkörper.
Diese und die folgenden leicht beweisbaren Tatsachen, welche in Satz 1 zusammengestellt sind, zitieren wir ohne Beweis nachv. d. Waerden (a. a. O.1, 9–15), mit dem Unterschied, daß wir sie nicht für Formen, sondern für Polynome aussprechen.
Vgl. Anmerkung 2.
Die folgende Konstruktion, fast wörtlich zitiert nachv. d. Waerden (a. a. O. 13), ist für das Folgende grundlegend und setzt keine Vorkenntnisse voraus.
Man könnte auf diese Voraussetzung verzichten, da in den Koeffizienten der in § 2 konstruierten Polynome nur ganze Zahlen auftreten. Dies ist jedoch für die Anwendungen unwesentlich.
Eine Nullstelle heißt einfach wenn in ihr die Funktionaldeterminante des Systems nicht verschwindet.
η bedeutet das Ideal (y 1,…y n ) ausK[y].
Vgl. a. a. O.4). η bedeutet das Ideal (y 1,…,y n ) ausK[y].
Hier benützen wir zum erstenmal, daßn≧2 sein soll.
W. Habicht, Eine Verallgemeinerung des Sturmschen Wurzelzählverfahrens, Comm. Math. Helv. dieses Heft, p. 99, insbesondere § 3, Reduktionssatz.
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Habicht, W. Zur inhomogenen Eliminationstheorie. Commentarii Mathematici Helvetici 21, 79–98 (1948). https://doi.org/10.1007/BF02568027
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02568027