Kanonische Codes auf einigen überdeckungskurven

Zusammenfassung

Kürzlich habenPellikaan, Shen undvan Wee in [5] gezeigt, daß jeder lineare Code ein schwach algebraisch-geometrischer Code (in ihrer Bezeichnungsweise) oder kürzer einarithmetischer Code ist. Damit stimmt die Klasse der linearen Codes mit der der arithmetischen Codes überein, und jeder lineare Code besitzt diverse Darstellungen als arithmetischer Code.

Für ihren Beweis benutzten sie spezielle Überdeckungskurven im mehrdimensionalen projektiven Raum über endlichen Körpern, deren zugehörige Funktionenkörper durch einen Turm von Artin-Schreier-Erweiterungen erzeugt werden. In dieser Schrift werden nun in kanonischer Weise definierte Codes auf diesen Überdeckungskurven beziehungsweise in diesen Artin-Schreier-Türmen untersucht. Diese sind unter anderem deswegen interessant, weil das Geschlecht dieser Codes nur einen Bruchteil des Geschlechts der definierenden Kurve beträgt. Insbesondere findet man unter ihnen auch Familien von Codes, deren Parameter erheblich besser als die der korrespondierenden Hermiteschen Codes sind. Bei dieser Gelegenheit werden im letzten Abschnitt die vonStichtenoth in [8] ausgesparten Minimaldistanzen der kanonischen Hermiteschen Codes nachgetragen.