This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
Vol. XII, 1941.
Non mi consta se a questa Nota sia seguita una più estesa pubblicazione dell'Autore sull'argomento.
F. Enriques, Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari, Rendic. R. Acc. delle Scienze dell'Istituto di Bologna, 1904.F. Severi, Intorno alla costruzione dei sistemi completi non lineari che appartengono ad une superficie irregolare, Rendic. Circolo Mat. di Palermo, 1905.—Nuovi contributi alla teoria dei sistemi continui di curve appartenenti ad una superficie algebrica, Rendic. Acc. Lincei, 2 e 16 Aprile 1916 (Cfr. n. 1).—Una dimostrazione trascendente del teorema fu data daH. Poincaré (1910) e riesposta più tardi, con semplificazioni, daSeveri e daLefschetz. La dimostrazione di B. Segre, di cui si parla nel testo, è stata proposta nella Memoria “Un teorema fondamentale della geometria sulle superficie algebriche e il principio. di spezzamento” (Annali di Mat. 1938) e completata dall'Autore stesso nella citata Nota dei Comptes rendus (9/1/1939) in seguito ad un'obiezione mossa daEnriques nella Nota “Sulla proprietà caratteristica delle superficie algebriche irregolari” (Lincei, 3 Guigno 1938). Cfr.F. Enriques, Sur la propriété caractéristique des surfaces algébriques irrégulières (Comptes rendus, 3/1/1939).
B. Segre (nella Memoria degli Annali di Mat. del 1938) s'indugia a scartare questa ipotesi, richiamando all'uopo la dimostrazione che io ebbi a dare di un teorema di Kneser sul gruppo di unag 1n contenuta in unag 2n . Ma nella mia Nota “Sulla proprietà caratteristica…” ho già rilevato che questa dimostrazione non è essenziale, e perciò deve esser lasciata da parte se non si vuole complicare inutilmente le cose.
Enriques, avendo tentato già prima per proprio conto la via ora indicata dal Segre (nel caso più semplicep g=1), si era fermato di fronte all'esempio del sistema delle curve pianeC 8 d'ordine 8 dotate di 15 punti doppi: questeC 8 possono degenerare in due quarticheC 4 e\(\bar C_4 \), che avranno—oltre i 15 punti comuni limiti dei 15 punti doppi delle C8—un sedicesimo punto comuneX; ora la serie canonicag 510 sopra unaC 8 segata dal sistema lineare delle quintiche aggiunte, che passano per i 15 punti doppi diC 8, viene a ridursi alla serie composta di dueg 24 appartenenti alle detteC 4, aumentata del punto fissoX; e così la sua dimensione 5 sembra abbassarsi a 2+2=4! Questo è il paradosso che Enriques ha presentato come obiezione alla dimostrazione diB. Segre, nella Nota “Sulla proprietà caratteristica…” ed è merito di B. Segre di averlo risolto, spiegando come esso non contraddica al principio di continuità, a priori inoppugnabile. Precisamente qui accade che lag 510 =g −24 +2X composta come si è detto non è l'intero limite della serie canonica diC 8: quando le quintiche aggiunte aC 8 tendano a confondersi con una delle quarticheC 4, in cui laC 8 viene a degenerare, la serie limite su questaC 4, che a prima vista appare indeterminata, risulta essere lag 36 completa somma dellag 24 canonica e diX contato due volte (ai cui gruppi sono da associare i gruppi della serie canonicag −24 , sopra l'altra quartica\(\bar C_4 \)).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Enriques, F. Sui sistemi continui di curve appartenenti ad una superficie algebrica. Commentarii Mathematici Helvetici 15, 227–237 (1942). https://doi.org/10.1007/BF02565641
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565641