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Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche

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Commentarii Mathematici Helvetici

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  1. Mem. R. Accad. d'Italia, Classe di scienze mat. fis. e nat., vol. VIII (1937-XV), No 2.

  2. Col nome di “forme” di uno spazioS k designo le varietà algebriche ak−1 dimensioni di questo spazio (dette anche “ipersuperficie”).

  3. Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni aventi curve-sezioni canoniche (Scritti matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia 1936), n. 5–6.

  4. Indicando conM, nel presente lavoro, esclusivamente varietà a tre dimensioni, sopprimerò d'ora in poi l'indice 3, mantenendo solo l'indice superiore dell'ordine. CosìF n,ϕ n,ψ n,...R n indicheranno superficie, in particolare superficie rigate di ordinen. Il fatto che laM abbia un puntoP, o una rettar, o una linea γ come multiplo di ordinek verrà indicato conM(P k),M(r k)M(γk); e analogamente per le superficie.

  5. Le tre rigate diM 8 ne costituiscono complessivamente l'intersezione completa con una forma di ordine 16, e sono perciò proiezioni di superficie diM 12 formanti ivi insieme unaF 16.12 (r 16). LaR 3 essendo immagine dir, e laR 74 proiezione di unaR 84=F 7.12 (r). laR 51 sarà appunto proiezione di unaF 9.12 (r 16). Si osservi anche, per eventuali analoghi controlli in seguito, cheF 9.12 (r 16)=9F 12 (r)−7r; e ha quindi per proiezione suM 8 una superficie 9F 8−7R 3, di ordine 9.8−7.3=51.

  6. Ciò è confermato da particolariM 12 diS 8, rappresentate sullo spazioS 2 da sistemi lineari semplici di superficie; p. es. dalleF 4 passanti per una curva γ 87 (di ordine 8, genere 7), o per una γ 73 . Le coniche di queste dueM 12 hanno per immagini soltanto corde, e coniche 6-secanti delle due linee; e queste formano per la γ 87 congruenze di ordini 14 e 10, per la γ 73 due congruenze di ordine 12.

  7. LeF 3.12 generiche suM 12 sono superficie di genere 35, e il punto 7plo ne riduce appunto il genere a zero.

  8. Enriques, Math. Annalen 46 (1895), p. 179;Scorza, Annali di Matem. (3), vol. 15 (1908), p. 217. LaV 53 incontrata nella Memoria 3), n. 6, è caso particolare della presente avendo (a differenza di questa) un punto doppio. E la ϕ4 diM 4 è ivi spezzata in una rigataR 3 e un piano.

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  9. Castelnuovo, Atti R. Ist. Veneto (7), vol. 2o (1891), p. 855; in part. n. 9.

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  10. Applicazione particolare di un teorema diF. Severi, Mem. R. Accad. di Torino (2), vol. 52 (1902), n. 3.

  11. C. Segre, Mem. R. Accad. di Torino (2), vol. 39 (1888), n. 12 e seg.;Castelnuovo, Atti R. Ist. Veneto (6), vol. 5 (1888).

  12. J. A. Todd, Some types of birational quartic primals in four dimensions, London M. S. Proceed. vol. 42 (1937), p. 316, §7. Ivi è data pure la rappresentazione suS 3 dellaM 4 diS 4 qui considerata. QuestaM 4 contiene 4 rigate; laR 12 anzidetta, unaR 84 proiezione della rigata contenuta inM 12, e due altre, di ordini 164 e 60, le cui generatrici sono proiezioni rispett. delle cubiche passanti perP e delle quintiche conP doppio.

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  13. Nel senso di cui alla mia Nota precedente: Osservazioni sulla rappresentazione ecc., Comm. Math. Helv., vol. 14, p. 193, n. 1–2.

  14. Enriques, lav. cit. in 8), ; n. 13–16.

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  15. Nella Memoria 3) Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni aventi curve-sezioni canoniche (Scritti matematici offerti a Luigi Berzolari, Pavia 1936), n. 5–6. cit., la quartica γ è spezzata in una cubica e una retta. La differenza, rispetto alla detta Memoria, nell'ordine del sistema rappresentativo dellaM 12 e nelle multiplicità delle due curve basi è dovuta a un errore incorso alla fine del n. 6 della Mem. cit., computando la superficie immagine diP come parte semplice dell'aggiunta, anzichè doppia.

  16. Todd, l. c..

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  17. Una rigataR p n diS 4 ha\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {n - 2} \\ 2 \\ \end{array} } \right) - 3p\) punti doppi. V.C. Segre, art. III C 7 della “Encykl. d. Mathem. Wiss.”, vol. III 2.2. A, nota 434) a p. 913.

  18. Ascione, Rend. R. Accad. Lincei (5), vol. 61 (1o sem. 1897), p. 162;Severi, Rend. Palermo 15 (1901), p. 33;Todd, Mem. cit. 12), § 6.J. A. Todd, Some types of birational quartic primals in four dimensions, London M. S. Proceed. vol. 42 (1937), p. 316, § 7. Ivi è data pure la rappresentazione suS 3 dellaM 4 diS 4 qui considerata. QuestaM 4 contiene 4 rigate; laR 12 anzidetta, unaR 84 proiezione della rigata contenuta inM 12, e due altre, di ordini 164 e 60, le cui generatrici sono proiezioni rispett. delle cubiche passanti perP e delle quintiche conP doppio.

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  19. Todd, l.c.. § 6;Babbage, Cambridge Phil. Soc. Proceed. 32 (1936), p. 13. Le forme cubiche passanti perR 5 hanno 7 punti doppi, dei quali 3 fissi nei punti doppi diR 5 e 4 variabili in punti semplici diR 5.

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  20. È dunque omaloidico il sistema formato suM 12 dalleF 3.12 colla cubica γ quadrupla. L'intersezione di due di queste superficie è infatti di ordine 3.3.12=108. Togliendone la cubica γ (3.4.4=48 unità) e le linee fondamentali di 2a specie contenute di conseguenza nelle detteF 3.12, cioè le 21 rette diM 12 incidenti a γ, e le 3 coniche bisecanti γ che ne sono linee doppie (8 unità per ciascuna), rimane una curva di ordine 15, immagine di una retta diS 3, e perciò appoggiata a γ (immagine di ϕ11) in 11 punti. E 15.3−11.4=1.

  21. Le rette contenute in unaM 4 diS 4 formano complessivamente una rigataR 320, di cui ogni generatrice si appoggia a altre 81 (Marletta, Sulla varietà delle rette…, Atti Accad. Gioenia di Catania (4) vol. 16 (1902)).—NollaM 4 considerata nel presente no, laR 320 è composta di 5 rigate parziali, per ciascuna delle quali indichiamo qui sotto la superficie diM 12 di cui è proiezione: i numeri fra parentesi indicano, per le generatrici di ogni singola rigata, a quante generatrici di ciascuna delle altre o di sè stessa—nel medesimo ordine—esse si appoggiano. Il totale, per ogni parentesi, è sempre 81. UnaR 5, immagine di γ (0, 0, 24, 42, 15). UnaR 63, proiezione dellaR 84 diM 12 (0, 8, 27, 35, 11). UnaR 123, proiezione di unaF 27.12 (γ24) luogo delle coniche incidenti a γ (1, 14, 31, 28, 7). UnaR 105, proiezione di unaF 35.12 ((γ42)) luogo delle cubiche bisecanti γ (2, 21, 33, 22, 3). UnaR 24, proiezione di unaF 11.12 ((γ15)) luogo delle quartiche trisecanti γ (3, 28, 36, 14, 0). Nello spazioS 3, le generatrici de queste rigate hanno per immagini ordinatamente le quartiche 15-secanti laC 97 , le cubiche 11-secanti, le coniche 7-secanti, le rette trisecanti, e i punti della detta C 97 . Le linee anzidette hanno per luoghi superficie di ordini 11 (la (ϕ11)), 105, 141, 63, collaC 97 multipla degli ordini indicati dai numeri contenuti nell'ultima parentesi.

  22. Se non fosse normale, dovrebbe avere un punto doppio, tale anche perM 6, e immagine di una conica bisecante la ε, la quale insieme con ε costituirebbe una γ 41 : mentre sullaM 12 non esistono γ 41 (cfr. la mia Memoria 3), no 11).

  23. RappresentandoR 4 col sistema delle cubiche piane aventi un punto base doppioA e uno sempliceB, al sistema delleC 106 corrisponde un sistema ∞4 diC 7 (A 4 B 3) e con 14 punti basi semplici, perciò di grado 10, colle cubiche anzidette come aggiunte pure.

  24. Le rigate contenute inM 6 devono avere ordini di somma 180, e ogni loro generatrice deve incontrarne complessivamente altre 31 (Marletta, l. c. in 21)). Esse sono (colla stessa convenzione della nota 21) per i numeri in parentesi): LaR 4, immagine di ε (0, 0, 23, 8). UnaR 70, proiezione dellaR 84 diM 12 (0, 8, 18, 5). UnaR 88, proiezione di unaF 18.12 (ɛ23) luogo delle coniche incidenti a ε (1, 14, 14, 2). LaR 18, proiezione di unaF 5.12 ((ɛ8)) luogo delle cubiche bisecanti ε (2, 21, 8, 0).

  25. Per l'invarianteI, come anche per l'invariantei (pure di Zeuthen-Segre) di una superficie, v. le note 8) e 9) del mio lavoro preced., e l'enunciato 2) del n. 2 dello stesso lavoro. per lo spazioS 3 e per la quadrica il calcolo diI è immediato. per laV 53 questo invariante deve avere lo stesso valore che per lo spazioS 3, potendosi queste due varietà rappresentare l'una sull'altra (come qui al n. 2) con una sola curva fondamentale razionale su ciascuna di esse.

  26. Per unaF 4 diS 3 priva di linee eccezionali, quale è la sezione iperpiana diM 4, l'invariantei vale 20.

  27. QuestaM 12 è caso particolare di quella considerata qui ai n. 2–4. Cfr. la mia Memoria 3), n. 11, p. 345.

  28. Nelle tre rigateR 3,R 57,R 24 ciascuna generatrice ne incontra ordinatamente—con notazione conforme alla nota 21)—altre (0, 1, 7), (0, 5, 3), (1, 7, 0), con somma costante 8.

  29. Per un punto dir passano 7 coniche generalmente irriducibili, e 5 spezzate inr e una retta incidente a questa.

  30. L'invariantei del piano doppio conC 4 generale di diramazione si può calcolare con un fascio di rette doppie: si trovai=12−2−4.1=6.

  31. LaR 19 è invece proiezione di unaF 2.18(r 5), luogo delle coniche diM 18 appoggiate ar. La somma degli ordini delle tre rigate contenute nellaM 14 è 70, come nellaM 14 considerata nella mia Nota nei Rend. R. Accad. Lincei (6) vol. 11, 1o sem. 1930, p. 329. Ogni generatrice di ciascuna di esse ne incontra in tutto altre 6, e le consuete parentesi, nell'ordineR 3,R 48,R 19, sono (0, 1, 5), (0, 4, 2), (1, 5, 0).

  32. Una curvaC n p diS 4 ha\(\left( {\begin{array}{*{20}c} {n - 2} \\ 3 \\ \end{array} } \right) - (n - 4)p\) trisecanti (C. Segre, articolo cit. in 17), n. 25, dove sono indicati i vari lavori sul problema degli spazi plurisecanti una curva).

  33. Sulla forma cubica generale diS 4 le quadriche passanti per una sua rettas segano un sistema lineare di superficie rappresentante pure unaM 18 diS 11 a curvesezioni canoniche, ma che contiene anche superficienon intersezioni complete con forme; fra altre unaR 4 immagine della rettas e unaR 35 corrispondente alla rigata della forma cubica aventes per direttrice. Ogni generatrice diR 4 ne incontra 5 diR 35; ogni generatrice diR 35 ne incontra una diR 4 e un'altra diR 35. Cadono perciò tutte le considerazioni indicate qui sopra: ser è generatrice diR 4, il sistema ⋎F 11⋎ è di grado 3 e rappresenta daccapo una forma cubica; ser sta suR 35, ⋎F 11⋎ appartiene a una congruenza di coniche.

  34. Enriques, l. c. in 8), n. 9.

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  1. Lausanne

    Cino Fano

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  1. Cino Fano
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Fano, C. Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche. Commentarii Mathematici Helvetici 14, 202–211 (1941). https://doi.org/10.1007/BF02565618

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