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Literatur
Diese Ausdrucksweise benutzen wir im folgenden auch dann, wenn die Funktionen den betreffenden Wertz überhaupt nicht annehmen, was nach dem Picardschen Satz höelistens fürzwei Wertez möglich ist.
G. Pólya:Bestimmung einer ganzen Funktion endlichen Geschlechts durch viererlei Stellen (Matematisk Tidsskrift B, København 1921, p. 16–21.
In der folgenden Überlegung denken wir uns diese Intervalle ausgeschlossen.
c. S. 23. Wennfμ in der Umgebung von x=∞ regulär ist, so ist diese Bedingung damit gleichbedeutend, dass\(\mathop {\overline {\lim } }\limits_{r \to \infty } \frac{{\log \log M(r,f_\mu )}}{{\log r}}\) endlich ist, wobeiM(r,fμ), den Maximalmodul vonfμ bezeichnet.
In der folgenden Überlegung denken wir uns diese Intervalle ausgeschlossen. l. c.
Dieser Satz gilt auch dann, wenn die Funktionenf 1 undf 2 die vorausgesetzten Eigenschaften nur in einer gewissen Umgebung des wesentlich singulären Unendlichkeitspunktes besitzen. Um ihn in dieser allgemeineren Fassung zu beweisen, hat man in dem nachfolgenden Beweis einige Modifikationen vorzunehmen.
Dieser Satz ist zuerst vonBorel gegeben worden (Vgl.Borel:Sur les zéros des fonctions entières, Acta math., B. XX, 1897). Fürn=3 ist er mit dem speziellen Picardschen Satz gleichbedeutend.
In der Tat istm(e, ψ 1 ψ 2)≦m(r, ψ 1)+m(r, ψ 2),m(r, ψ 1+ψ 2)≦m(e, ψ 1)+m(e, ψ 2)+log 2,N(r, ψ 1 ψ 2)≦N(r, ψ 1)+N(r, ψ 2),N(r, ψ 1+ψ 2)≦N(r,ψ 1)+N(r, ψ 2), und also nach dem Hauptsatz I:T(r, ψ 1,ψ 2)≦T(r, ψ 1)+T(r, ψ 2)+O(logr),T(r, ψ 1+ψ 2)≦T(r, ψ 1)+T(r, ψ 2)+O(logr) Ferner ist, ebenfalls nach dem Hauptsatz I,\(T(r,\psi ) = T\left( {r,\frac{I}{\psi }} \right) + O(\log r)\). Aus diesen Beziehungen geht hervor, dass die Ordnung durch rationale Operationen nicht erhöht werden kann.
Über den Ordnungsbegriff vgl. meine Arbeit:Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum (Acta Soc. Sc. Fennicae, T. L., N:o 12, 1925).
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Nevanlinna, R. Einige Eindeutigkeitssätze in der Theorie der Meromorphen Funktionen. Acta Math. 48, 367–391 (1926). https://doi.org/10.1007/BF02565342
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02565342