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References
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Ces importantes inégalités ont été déduites des recherches sur les polynomes extrémales par des considérations assez délicates. Voir S. BernsteinLeçons sur les propriétés extrémales ...p. 28 et suiv. Comme l’a montré M. Montel on peut obtenir des inégalités analogues, qui, bien qu’étant moins précises, suffisent cépendant pour notre but, par des considérations plus simples de la théorie des fonctions. Voir. P. Montel.Sur les polynomes d’approximation, Bulletin de la société mathématique de France t. 46, 1918.
Voir Gorny, Comptes rendus, 206, 1938, p. 1245 et 1872 et H. Cartan, Comptes rendus 208, 1939, p. 416, l’énoncé donné ici est, à la valeur des costantes près, celui de M. Cartan.
Voir H. Cartan, Comptes rendus 208, 1939, p. 416.
Pour les séries de Fourier on obtient ainsi l’évaluation de M. Mandelbrojt.
Dans cet ordre d’idées il y a lieu de signaler encore un théorême de M. S. Bernstein concernant la dérivabilité des fonctions limites des suites de fonctions entières de degré fini. Voir S. Bernstein.Leçons sur les propriétés extrémales ..., p. 105.
On peut cependant encore signaler des propositions d’une nature voisine de M. S. Bernstein,Sur la distribution des zéros des polynomes tendant vers une fonction continue positive sur un segment donné. Journal de Mathématiques pures et appliquées 9-ième série, 8, 1929, p. 327.
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Voir par exemple Ch. De la Vallée Poussin,Leçons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle Chap. IV et V et S. BernsteinSur la meilleure approximation des fonctions continues (Mémoires publiés par la classe des Sciences de l’Académie royale de Belgique. Collection in −4. 2e Série t. IV, 1912).
S. Bernstein.Leçons sur les propriétés extrémales ... p. 112.
Nous supposons que o est un point intérieur du segment (a, b).
Voir, par exemple, G. Julia,Principes géométriques d’analyse T. I. p. 70–72.
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Gorny, A. Contribution a l’étude des fonctions dérivables d’une variable réelle. Acta Math. 71, 317–358 (1939). https://doi.org/10.1007/BF02547758
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02547758