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References
Vergl. das Beispiel von Hilfssatz I in § 4.
In Definition 2 von § 2 gebe ich die entsprechende Definition für beliebigesm.
Definition 3 in § 2 gibt die Erklärung von rhythmischen Systemen für beliebigesm.
H. Bohr, Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. I. Acta, Bd 45, S. 29–127; II. Acta, Bd. 46, S. 101–213; III. Acta, Bd. 47, S. 237–281.
Diesen Satz für beliebigesm statt für den Spezialfall mitm=1 findet der Leser in Satz 4 von § 2.
Mit (f v ,f 1 +f 2) wird natürlich das System dern+1 Funktionenf 1,...f n ,f 1 +f 2 gemeint.
Die Verallgemeinerung dieses Satzes für beliebigesm kommt in Satz 7 von § 2 vor.
Mit (f v ,ψ(f 1,...f n )) wird natürlich das System dern+1 Funktionen\(f_1 (x),...,f_n (x),{\mathbf{ }}\psi (f_1 (x),...,f_n (x)\) gemeint.
Den Hauptsatz mit beliebigemm findet der Leser in Satz 9 von § 2.
Die Verallgemeinerung dieses Satzes für beliebigesm findet der Leser in Satz I von § 2.
Verallgemeinerung für beliebigesm in Satz 2 von § 2.
[u] bezeichnet die grösste ganze Zahl≦u.
Ich gebe die entsprechende Erklärung mit beliebigemm in Definition 1 von § 3.
Besteht (gϖ) aus den Funktionen\(g_\varrho (x)(\varrho = 1,{\mathbf{ }}2,{\mathbf{ }}...{\mathbf{ }},{\mathbf{ }}r)_r \) so besteht (gϖ,f) natürlich aus denr+1 Funktionen\(g_1 (x),...,g_r (x),{\mathbf{ }}f(x).\)
Für beliebigesm in Satz 3 von § 3.
Wortlaut für beliebigesm in Satz 5 von § 3.
Satz 7 in § 3 gibt die Verallgemeinerung dieses Satzes für beliebigesm.
Der entsprechende Satz für beliebigesm kommt in Satz 2 von § 3 vor.
In Definition 3 von § 1 habe ich die entsprechende Erklärung für den Spezialfall mitm=1 gegeben.
Den Spezialfall dieser Definition mitm=1 findet der Leser in Definition 4 von § 1
Satz 4 in § I ist der Spezialfall dieses Satzes mitm=1.
Der Spezialfall mitm=1 kommt in Satz 5 von § I vor.
Der Leser findet den Spezialfall dieses Satzes mitm=1 in Satz 1 von § 1. Nach der Definition ist z. B. (f 1,f 1,f 1) ein Teilsystem von (f 1,f 2) und auch von (f 2).
Mit (f v,f 1+f 2) wird natürlich das System dern+1 Funktionenf 1, ...,f n ,f 1+f 2 gemeint.
Anderer Beweis: Satz 5 ist fürc=o evident, ergibt sich fürc>0 durch (c−1)-malige Anwendung von Satz 4, und ist nun fürc<0 klar, da dann (f r , −cf 1) rhytmisch ist.
Der Spezialfall mitm=1 kommt in Satz 2 von § 1 vor.
S ϱ ist somit das System (f 1, ...,f t, ϕϱ). Istl=o, so bestehtS ϱ nur aus der einen Funktion ϕϱ(x)
Den Spezialfall dieses Satzes mitm=1 habe ich in Satz 3 von § 1 formuliert.
Das System (f v ,ϕ μ f v ) besteht natürlich aus denn+mn Funktionenf v undΔ u f v .
Den Spezialfall dieser Erklärung mitm=I findet der Leser in Definition 7 von § 1.
(gϱ,f v ) besteht natürlich aus denr+n Funktionengϱ undf v (ϱ=I, ...,r;v=I, ...,n).
Satz 9 von § 1 enthält den Spezialfall mitm=I.
Den Spezialfall mitm=I findet man in Satz 6 von § I.
Den Spezialfall mitm=1 findet der Leser in Satz 7 von § 1.
Ich wende hier den Spezialfall des ersten Stetigkeitssatzes an, wobei ξ nicht von allenr+n Funktionengϱ undf v , sondern nur von den Funktionenf v abhängt
Der Spezialfall mitm=1 kommt in Satz 8 von § 1 vor.
R * heisst ein Ring, wenn jedes zuR * gehörige Funktionenpaarf und ξ die Eigenschaft besitzt, dassR * auch die Funktionenf+ξ,f−ξ undf ξ enthält
Hieraus folgt mit Rücksicht auf Satz 4, dass\(x\sqrt[3]{x}\) nicht rhytmisch ist.
Den Beweis dieses Satzes findet der Leser in der Schlussbemerkung von § 9.
(f,f ζ) nur aus der Funktionf(x)
(Δμ f,f ζ) besteht aus denm+z FunktionenΔ μ f undf ζ
(d. k. G. a. B. g.) soll heissen: das konstante Glied, oder die konstanten Glieder ausser Betracht gelassen.
Das System (ψλ(a 1,a 2,...,a n )) besteht natürlich aus denl Funktionen\(\psi _\lambda (a_1 (x),{\mathbf{ }}a_2 (x),...,a_n (x))(\lambda = 1,{\mathbf{ }}2,...,l).\)
(a, a ξ) bezeichnet natürlich das System (a, a 1, ...,a z ), und ((a, Δμa ,a ζ) das System (a,Δ 1 a,...,Δ m a,a 1,...a z). Ist.z=o, so werden einfach die Systeme (a) und (a,Δ 1 a,...,Δ m a) gemeint.
(Δ λ a,a ζ) bezeichnet natürlich das System (Δ 1 a,...,Δ l a,a 1,...,a z). Istz=o, so wird das System (Δ 1,a,...,Δ l a) gemeint.
Ich habe die Sätze 1 und 2 von § 7 schon in Satz 4 von § 5 zusammengefasst.
Vergl. die Fussnote bei Satz 1.
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Herrn Professor Dr.Edmund Landau gewidmet.
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van der Corput, J.G. Diophantische Ungleichungen. Acta Math. 59, 209–328 (1932). https://doi.org/10.1007/BF02546502
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02546502