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References
«On series of iterated linear fractional functions” Rend. Circ. M. di Palermo, (1914), t. 36. 1-34472.Acta mathematica. 64. Imprimé le 28 août 1934.
L'hypothèse que ce domaine est à distance non nulle de tout β n est toujours sousentendue.
Bien entendu, l'ordre de multiplicité d'un pôle βn ne doit pas surpasser l'ordre de multiplicité de ce point dans la base [β].
On vérifie d'ailleurs aisément que cette série entière diverge en tous les points de |z|=|α1|.
Il résulte de (27) que ω ne peut être un α n ou un β n sans que l'on ait α n =β n ; mais alors on peut retrancher ce point commun aux deux bases sans changer la forme de la série, et supposer que ω n'appartient à aucune des bases. C'est ce que nous admettons. Remarquons en passant que siu etv ne sont pas dans un rapport rationnel réel, les 2 bases ne peuvent avoir plus d'un point commun, que l'on pourrait d'ailleurs supprimer sans modifier la forme de la série, à l'exclusion d'un nombre fini de ses termes.
Les «points spéciaux» sont les points α1, α2,... et β1, β2... des 2 bases.
Si ω1, ou d'une manière plus générale,\(\omega _p = \omega - \frac{p}{{\tfrac{1}{u} - \tfrac{1}{v}}}\) était un point spécial, les 2 bases de la série (I) auraient un point commun, et l'on pourrait retrancher ces deux points des deux bases sans modifier 1a forme de la série, tout an moins à l'exclusion d'un nombre fini de termes. Nous pouvons done supposer qu'aucun des points ω i qui interviendront ici n'est spécial, puisqu'ils sont en nombre fini.
Il ne peut y avoir qu'un nombre fini de tels termes, en vertu de la tendance vers l'infini de la suite des β i .
Il n'est point nécessaire de distinguer les points β i (i=1, 2,...p) qui sont effectivement pôles deF(z) de ceux qui ne le sont pas, et il suffit, pour ceux-ci, de donner àN i (z) la valeurzéro.
Le mode de raisonnement que nous utilisons ci-dessous s'inspire de la démonstration, donnée par N. E. Nörlund, du théorème fondamental de Carlson-Nörlund sur les séries de Newton. Cf. N. E. Nörlund, Leçons sur les séries d'interpolation, p. 131–141.
L'intervention de la valeur critiques=1 a une signification profonde; cette valeur sépare en effet les cas où le plan de convergence contient une infinité de points α i de ceux où il n'en contient qu'un nombre fini. Le cas limite, oùv est infini, correspond aux séries de Newton.
Pour ces courbes, je ne suis pas sûr qu'il n'existe point d'inflexion; mais il est vrai que ce fait n'offre que peu d'intérêt.
Cf “Leçons sur les séries d'interpolation”, p. 131.
La lettre α n'a pas le même sens dans le titre du chapitre et dans le développment (1); en fonction de α et β elle représente la quantité\(\frac{{\alpha - \beta }}{2}\).
On suppose toujours queF(z) est holomorphe dans le demi-planR(z) >h.
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Lagrange, R. Mémoire sur les séries d'interpolation. Acta Math. 64, 1–80 (1935). https://doi.org/10.1007/BF02545669
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02545669