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Literatur
Berlin 1914.
Kakeya, On some applications of a Theorem about polynomial sequences. The Tôhôku Mathematical Journal, Vol. 5, Nr 1, 2. Cf. die im selben Heft enthaltene Note vonJ. Pál. (1914).
Der dort angegebene Beweis lässt sich leicht auf folgende Behauptung ausdehnen: Hatf(x)=Σa vxv auf dem Einheitskreise nur Pole, ist alsof(x)=R(x)+Σb vxv, woR(x) eine rationale Funktion ist und Σbvxv eine grösseren Konvergenzradius hat wie Σavxv, so hat für gehörig grossen dern·ten Abschnitt der Reihe Σavxv in jedem Kreis|x|=R+ɛ (ɛ bel. klein) ebenso vieble Wurzeln wie der entsprechende Abschnitt der Entwickelung vonR(x).
Es sind das diejenigen speziellen Reihen, für die die HerrenPólya undLindwart den eingangs erwähnten allgemeinen Satz meiner Diss. zuerst bewiesen haben.
Die Funktionen\(f_v \left( x \right) = e^{x + \tfrac{{x^2 }}{2} + \cdots + \tfrac{{x^v }}{v}} ,\mathop {\lim }\limits_{v = \infty } f_v \left( x \right) = \frac{I}{{I - x}}\) habe ich schon Diss. S. 32 in ähnlichem Zusammenhange betracbtet, bin aber damals nicht bis zu diesem Resultat gelangt. Man kann es einrichten, dass |x|=1 natürliche Grenze wird, indem man nochn v>nv−1+v wählt dann wird nämlich\(\mathop {\lim }\limits_{v = \infty } n_v - n_v - 1\) (Satz vonHadamard-Fabry).
Er ist dort nicht besonders formuliert, doch ist sein Beweis dort vollständig entwickelt.
(v tk +1) sei die Teilfolge von (v k+1), die den betreffenden Punkt liefert.
Beiträge zur Konvergenz von Funktionenfolgen. S. B. Berlin 1911. P. 587–613.
Vergl. dafür ausser den Arbeiten vonCarathéodory, Toeplitz, J. Schur undFrobenius besonders die unlängst erschienene Arbeit vonG. Pick: Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden. Math. Ann. Bd. 77. (1915).
Die Konstruktion beiKakeya ist ein klein wenig anders, sodass er immer den Konvergenzradius o erhält.
Die Funktionen seien auch auf den Rändern noch regulär, sonst müsste man die Gebiete auch erst, wie oben, approximieren.
Vgl.P. Montel, Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe, Paris 1910, für eine ähnliche Verallgemeinerung.
Vgl.Pólya, Über Annäherung durch Polynome, deren sämtliche Wurzeln in einen Winkelraum fallen. Gött. Nachr. 1913.
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Jentzsch, R. Fortgesetzte Untersuchungen über die Abschnitte von Potenzreihen. Acta Math. 41, 253–270 (1916). https://doi.org/10.1007/BF02422946
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02422946