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Sur la limitation du degré des coëfficients des équations différentielles algébriques à points critiques fixes

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Acta Mathematica

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Literatur

  1. Bendixson, Acta Mathematica, t. 24, p. 81;Picard, Traité d'analyse, 2ème éd., t. III, p. 258.

  2. Ce second chapitre est une partie d'un Mémoire auquel l'Académie des Sciences de Paris a décerné un Grand Prix des Sciences Mathématiques en décembre 1912.

  3. Si l'exposantn est non plus un nombre entier, mais un nombre réel supérieur à 1, ou même un nombre imaginaire dont la partie réelle est supérieure à 1, les résultats relatifs à l'existence des intégrales sont encore valables. Dans le cas où l'exposantn est de la formep/q, p etq désignant deux entiers supérieurs à 1 (p>q), ces intégrales admettent comme développement asymptotique une série entière enx 1/q: ce cas se ramène au cas où l'exposantn est entier par le changement de variable (x 1/q, x)

  4. Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXI, cah. 36, p. 182.

  5. La fonction entière associée à la série entière\(b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n + \ldots ,\) dont le rayon de convergence n'est pas nul, est la fonction entière définie par la série\(b_0 + \frac{{b_1 x}}{I} + \frac{{b_2 x^2 }}{{I.2}} + \cdots + \frac{{b_n x^n }}{{n!}} + \ldots \) De même la série entière enx qui vérifie l'équation\(x^3 \frac{{dy}}{{dx}} - ay = x\left( {b_0 + b_1 x + \cdots + b_n x^n + \cdots } \right),\) est convergente ou divergente suivant que la quantitéa est ou n'est pas l'affixe d'un zéro de chacune des deux fonctions entières\(\begin{gathered} b_0 + \frac{{b_2 x}}{I} + \frac{{b_4 x^2 }}{{I.3}} + \frac{{b_6 x^3 }}{{n!}} + \ldots , \hfill \\ b_1 + \frac{{b_3 x}}{2} + \frac{{b_5 x^2 }}{{2.3}} + \frac{{b_7 x^3 }}{{2.4.6}} + \ldots \hfill \\ \end{gathered} \) Et ainsi de suite.

  6. Journal de Liouville. 6a série, t. VI, p. 185–186.

  7. M. Goursat a appliqué à l'équation (9) un procédé analogue (Cours d'analyse, 2ème éd., t. II, p. 504).

  8. M. Boutroux a retrouvé les résultats classiques relatifs à l'équation (9) par une méthode voisine, en introduisant un paramètre dans cette équation, et en développant les intégrales suivant les puissances de ce paramètre;M. Boutroux a appliqué cette même méthode à l'équation (2) (Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre, p. 114, 125; Journal de Liouville, 63 série, t. VI, p. 194).

  9. Journal de l'Ecole Polytechnique, t. XXI, 36e cahier, p. 175.

  10. Journal de l'Ecole Polytechnique, 2ème série, 9e cahier, p. 49.

  11. Cf. supra, p. 47, note 1.

  12. Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXVIII, p. 214.

  13. Cf. Acta Mathematica, t. 34, p. 364.

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  1. Lille

    Jean Chazy

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  1. Jean Chazy
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Chazy, J. Sur la limitation du degré des coëfficients des équations différentielles algébriques à points critiques fixes. Acta Math. 41, 29–69 (1916). https://doi.org/10.1007/BF02422939

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02422939

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