Skip to main content
SpringerLink
Log in

Sur la représentation des fonctions discontinues

  • Published:
Acta Mathematica

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Literatur

  1. Editées chez Gauthier-Villars, dans la «Collection de monographies sur la théorie des fonctions» publiée sous la direction deM. Borel. Voir, dans les «Leçons sur les fonctions de variables réelles», deM. Borel (même collection), Note II, une autre solution, deM. Lebesgue.

  2. Leçons sur les fonctions discontinues, p. 111.

  3. Pour la démonstration, voir loc. citLeçons sur les fonctions discontinues, p. 112.

  4. loc. cit Pour la démonstration, voirLeçons sur les fonctions discontinues, p. 113.

  5. loc. cit.Pour la démonstration, voirLeçons sur les fonctions discontinues, p. 122.

  6. loc. cit.Pour la démonstration, voirLeçons sur les fonctions discontinues p. 103, 104, 105.

  7. La définition actuelle diffère légèrement de la définition donnée dans les «Leçons etc.», (p. 105), en ce qu’un point de la surface de Σ n’est ici considéré comme appartenant à la portion ques’il est limite de points de P intérieurs à Σ. Cela ne modifie en rien, la définition des ensembles non denses.

  8. loc. cit.,Leçons sur les fonctions discontinues § 65, p. 105.

  9. On convient de poser, sia est fini: + ∞ − α = α − (− ∞) = + ∞ − (− ∞) = + ∞, + ∞ − (+ ∞) = (− ∞) − (− ∞) = 0.

  10. loc. cit.,Leçons sur les fonctions discontinues § 67, p. 108.

  11. La démonstration de ce théorème résulte des §§68, 73 et 74 des «Leçons sur les fonctions discontinues», où toutefois l’ensembleP est supposé parfait; mais les raisonnements des §§ 73 et 74, qui établissent que la condition est suffisante, sont valables en supposant seulement queP est fermé. L’extension du résultat, démontré d’abord pour les fonctions bornées, aux fonctions quelconques, (§ 77) peut se faire en remarquant que la condition de l’énoncé est invariante par rapport aux transformationsT etT −1 (§ 4 du présent mémoire).

  12. loc. cit., § 78, p. 124; même observation que plus haut.

  13. Cf. loc. cit., § 74, p. 117.

  14. Mais, à l’inverse de ce qui a lieu pour la fonctionM, du fait qu’un ensemble parfaitK est contenu dansH, ne résulte nullement la conditionM′(f, K)≦M′(f, H) Par exemple, soitf=o aux points de l’ensembleH des points du segment (0, 1), sauf aux points d’un ensemble parfait non denseK, oùf=1. On a:M′(f, H)=0 etM′(f, K)=1>M′(f, H).

  15. loc. cit., § 61, p. 101.

  16. loc. cit., p. 80.

  17. loc. cit., Ch. III, section II.

  18. Sauf dans le cas où le point coincide avecA ouB, extrémités du segmentAB.

  19. Dès 1898,M. Volterra, à qui j’avais communiqué le théorème sur les fonctions de classe I (§ 13), m’avait indiqué un exemple d’une fonction qui n’est certainement pas de classe ≦2.

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Montpellier

    René Baire

Authors
  1. René Baire
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Baire, R. Sur la représentation des fonctions discontinues. Acta Math. 30, 1–48 (1906). https://doi.org/10.1007/BF02418566

Download citation

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418566

Search

Navigation