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References
Der Satz bleibt richtig, wenn ξ auf der Strecke (−I, +I) gelegen ist, wird aber in diesem Falle trivial, da jetzt die Ellipse in die (doppelte) Strecke (−I, +I) übergeht undA+B=1 wird.
S. Bernstein: (I), Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degré donné, Mémoires publiés par la Classe des Sciences de l’Académie de Belgique, Bd. 4, 1912, S. 13–15. In dieser Arbeit wird der Satz nur für reelle ξ bewiesen. Der allgemeine Beweis befindet sich in der Arbeit (II): Sur une propriété des polynomes, Bulletin de la Soc. Math. de Kharkof, Bd. 14.
Dassg(x) wirklich ein Polynom (n+1)-ten Grades inx=cos π ist, folgt z. B. aus der Formel\(g(x) = \frac{{\sqrt {I - x^2 } }}{{2i}}[(x + i\sqrt {I - x^2 } )^n - (x - i\sqrt {I - x^2 } )^n ]\) Hier kann der Quadratwurzel irgend einer der beiden möglichen Werte beigelegt werden, der aber dann an allen drei Stellen derselbe sein muss.
Tchebycheff: Sur les fonctions qui s’écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable, Werke, Bd. 2, S. 335–356. Vergl. auchBernstein (I), S. 13–14.Tschebycheff undBernstein beweisen diesen Satz nur für Polynome mit reellen Koeffizienten und zeigen in diesem Fale, dass das Gleichheitszeichen nur für das Polynomf(x)=±L cos (n arc cosx) bestehen kann. In seiner späteren Arbeit (II) zeigt HerrBernstein, dass für Polynome mit reellen Koeffizienten die Ungleichung (6) für beliebige komplexe ξ gilt, die der Bedingung |ξ|≧1 genügen.
Dass diese Abschätzung genauer ist als (1), folgt z. B. aus der Ungleichung\(\left| {\cos n(a + bi)} \right| = = \frac{I}{2}\sqrt {e^{2nb} + e^{ - 2nb} + 2\cos 2na} \leqq \frac{{e^{nb} + e^{ - nb} }}{2}< e^{nb} \) Vergl.Bernstein (I), S. 14.
Dieser Beweis, den mir HerrMarcel Riesz seiner Zeit mitteilte, wurde von mir in zwei kleineren Aufsätzen «Über einen Satz des HerrnSerge Bernstein, Sitzungsberichte der Kgl. Bayer. Akad. d. Wissensch., Jahrg. 1915, S. 419–424» und «Sur un théorème deM. Serge Bernstein, The Tohôku Math. Journal, Vol. 9, Nos. I, 2, 1916, S. 1–6» ohne andere Bemerkung wieder-gegeben, als mit einem Hinweis auf den obigen Brief. Durch unvorhergesehene Umstände wurde jedoch das Drucken desselben derart verzögert, dass meine Aufsätze früher als der Brief erschienen. Hierdurch könnte das Missverständnis aufkommen, der Beweis stamme von mir. Dies ist aber, wie ich hier ausdrücklich betonen will, durchaus nicht der Fall.
Setzt man in diesem Satzes=iα, so kann manH(s)=H(iα) in der Form\(\sum\limits_{k = 0}^N {(A_k \cos ka + B_k \sin ka)} \) schreiben. Das obige kann also auch als ein Satz über trigonometrische Polynome ausgesprochen werden.
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Aus zwei Briefen an HerrnG. Mittag-Leffler.
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Riesz, M. Über Einen Sat’z des Herrn Serge Bernstein. Acta Math. 40, 337–347 (1916). https://doi.org/10.1007/BF02418550
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418550