Summary
The curvature measures, introduced by Federer for the sets of positive reach, are investigated in the special case of convex bodies. This restriction yields additional results. Among them are:(5.1), an integral-geometric interpretation of the curvature measure of order m, showing that it measures, in a certain sense, the affine subspaces of codimension m+1 which touch the convex body;(6.1), an axiomatic characterization of the (linear combinations of) curvature measures similar to Hadwiger's characterization of the quermassintegrals of convex bodies;(8.1), the determination of the support of the curvature measure of order m, which turns out to be the closure of the m-skeleton of the convex body. Moreover we give, for the case of convex bodies, a new and comparatively short proof of an integral-geometric kinematic formula for curvature measures.
Article PDF
Similar content being viewed by others
References
A. Aeppli, Einige Ähnlichkeits- und Symmetriesätze für differenzierbare Flächen im Raum, Comment. Math. Helvet.,33 (1959), pp. 174–195.
A. D. Aleksandrov,Zur Theorie der gemischten Volumina von konvexen Körpern. — I:Verallgemeinerung einiger Begriffe der Theorie der konvexen Körper (Russian), Mat. Sbornik, N.S.,2 (1937), pp. 947–972.
A. D. Aleksandrov,Zur Theorie der gemischten Volumina von konvexen Körpern. — II:Neue Ungleichungen zwischen gemischten Volumina und ihre Anwendungen (Russian), Mat. Sbornik, N.S.,2 (1938), pp. 1205–1238.
A. D. Aleksandrov, Über die Oberflächenfunktion eines konvexen Körpers(Russian), Mat. Sbornik,6 (48) (1939), pp. 167–174.
A. D. Aleksandrov,Almost everywhere existence of the second differential of a convex function and some properties of convex surfaces connected with it (Russian), Uchenye Zapiski Leningrad. Gos. Univ., Math. Ser.,6 (1939), pp. 3–35.
A. D. Aleksandrov,Existence and uniqueness of a convex surface with a given integral curvature, Comptes Rendus (Doklady) Acad. Sci. URSS,35, No. 5 (1942), pp. 131–134.
A. D. Aleksandrov,Die innere Geometrie der knovexen Flächen, Akademie-Verlag, Berlin (1955).
R. B. Ash,Measure, integration, and functional analysis, Academic Press, New York and London (1972).
H. Bauer,Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie, 2nd ed., W. de Gruyter, Berlin and New York (1974).
H. Busemann,Convex surfaces, Interscience Publishers, New York (1958).
G. Ewald -D. G. Larman -C. A. Rogers,The directions of the line segments and of the r-dimensional balls on the boundary of a convex body in Euclidean space, Mathematika,17 (1970), pp. 1–20.
H. Federer,Curvature measures, Trans. Amer. Math. Soc.,93 (1959), pp. 418–491.
H. Federer,Geometric measure theory, Springer, Berlin, Heidelberg, and New York (1969).
W. Fenchel -B. Jessen, Mengenfunktionen und konvexe Körper, Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd.,16 (3) (1938), pp. 1–31.
W. J. Firey,An integral-geometric meaning for lower order area functions of convex bodies, Mathematika,19 (1972), pp. 205–212.
W. J. Firey,Kinematic measures for sets of support figures, Mathematika,21 (1974), pp. 270–281.
W. J. Firey - R. Schneider,The size of skeletons of convex bodies, Geometriae Dedicata (to appear).
H. Hadwiger, Über eine Mittelwertformel für Richtungsfunktionale im Vektorraum und einige Anwendungen, J. reine angew. Math.,185 (1943), pp. 241–252.
H. Hadwiger,Altes und Neues über konvexe Körper, Birkhäuser-Verlag, Basel and Stuttgart (1955).
H. Hadwiger,Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie, Springer, Berlin, Göttingen, and Heidelberg (1957).
H. Hadwiger, Eine Erweiterung der kinematischen Hauptformel der Integralgeometrie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,44 (1975), pp. 84–90.
H. Hadwiger,Eikörperrichtungsfunktionale und kinematische Integralformeln, Universität Bern (1975) (Manuscript).
W. Maak,Differential- und Integralrechnung, 2nd ed., Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen (1960).
V. A. Zalgaller,k-dimensional directions singular for a convex body F in Rn (Russian), Zapiski naučn. Sem. Leningrad. Otd. Mat. Inst. Steklov,27 (1972), pp. 67–72. English translation: J. Soviet Math.,3 (1975), pp. 437–441.
G. Matheron,Random sets and integral geometry, Wiley, New York et al. (1975).
P. McMullen,Non-linear angle-sum relations for polyhedral cones and polytopes, Math. Proc. Camb. Phil. Soc.,78 (1975), pp. 247–261.
P. McMullen -C. C. Shephard,Convex polytopes and the upper bound conjecture, London Math. Soc. Lecture Note Series 3, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1971).
J. Neveu,Mathematische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie, R. Oldenbourg Verlag, München and Wien (1969).
L. S. Pontrjagin,Topologische Gruppen, Teil 1, Teubner, Leipzig (1957).
R. Schneider, Über eine Integralgleichung in der Theorie der konvexen Körper, Math. Nachr.,44 (1970), pp. 55–75.
R. Schneider, Kinematische Berührmaße für konvexe Körper, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,44 (1975), pp. 12–23.
R. Schneider, Kinematische Berührmaße für konvexe Körper und Integralrelationen für Oberflächenmaße, Math. Ann.,218 (1975), pp. 253–267.
R. Schneider, Kritische Punkte und Krümmung für die Mengen des Konvexringes, L'Enseignement Math.,23 (1977), pp. 1–6.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
Entrata in Redazione il 14 dicembre 1976.
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Schneider, R. Curvature measures of convex bodies. Annali di Matematica 116, 101–134 (1978). https://doi.org/10.1007/BF02413869
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02413869