Sunto
Premesse alcune proprietà fondamentali delle involuzioni irregolari sopra una varietà, in relazione ai sistemi d'integrali riducibili ad esse collegate e introdotte due involuzioni caratteristiche, l'Autore determina i casi possibili in cui una superficie irregolare contiene un'infinità continua o discontinua di involuzioni della stessa irregolarità.
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References
Il teorema d'Abel sulle superficie algebriche, « Annali di Matematica », t. XII (1905), pp. 55–79.
Enriques,Sopra le involuzioni irregolari appartenenti ad una superficie algebrica, « Revista de la Universidad nacional de Tucuman » (Serie A, matematicas y fisica teorica, dicembre 1940), p. 293.
Il citato autore poggia la propria dimostrazione sopra la presunzione che, se suF esiste un'involuzione γ n d'irregolaritàq, preso suF un qualunque sistema algebrico (irriducibile) ∞1, di curve algebricheC, i gruppi diC passanti pei singoli punti d'un gruppo qualunque di γ n , sien equivalenti tra loro. Tale proprietà non sussiste. Qualora fosse vera, se ne dedurrebbe la conclusione, come al n. 5 del lavoro citato, anche per una serie discontinua di γ n . Sembra che il recensore di quel lavoro nel « Zentralblatt für Mathematik » (Springer, Berlin, 30 dezember 1941; 25 Bd. Heft 5, p. 215) si sia accorto che l'ipotesi della continuità della serie è essenziale, almeno per l'esistenza di un fascio irrazionale (conformemente al mio risultato del 1905), perchè aggiunge quest'ipotesi, senza però porre in guardia il lettore che il ragionamento su cui riferisce è fallace. D'altronde, come ho detto nel testo, neppure l'ipotesi della continuità è sufficiente per quella conclusione, tal quale è.
Enriques-Severi,Mémoire sur les surfaces hyperelliptiques (premiata dall'A ccademia di Parigi nel 1907), « Acta Math. »,32 (1909), pp. 283–392;33 (1910), pp. 321–403. Ved. t. 32, pp. 293–294.
F. Severi, Relazioni fra gl'integrali semplici e gl'integrali multipli di 1a specia d'una varietà algebrica, « Annali di Matematica », 20 (1913). (pp. 201–215), n. 2; Un teorema d'inversione per gl'integrali semplici di prima specie appartenenti ad una superficie algebrica, « Atti del R. Istituto Veneto », 72 [(8), 15], (pp. 765–772), p. 766.
Ved.F. Severi, Intorno al teorema d'Abel sulle superficie algebriche, ecc., « Rend. del Circolo Matem. di Palermo », 21 (1906), (pp. 257–282), n. 12. Ved. pure in proposito un altro mio lavoro negli « Atti del R. Istituto Veneto », 1906, p. 635.
Nel casoq=2 il teorema trovasi già nella citata Memoria diEnriques-Severi sulle superficie iperellittiche. Ivi, com'è noto, si dimostra che sopra una superficie di Picard ogni involuzionè con un numero finito di coincidenze è generata da un gruppo di trasformazioni birazionali della superficie in sè. Questo teorema e il relativo processo dimostrativo sono stati dipoi estesi daL. Godeaux alle involuzioni con un numero finito di coincidenze sopra una qualunque superficie [« Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », (5), 231 (1914), pp. 408–413]. È probabile che un teorema analogo valga sopra una varietà qualsiasi.
G. Castelnuovo,Sugli integrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare, [« Rend. R. Acc. Naz. dei Lincei », (5), 141, pp. 545–556, 593–98; 655–663], n. 8.
M. De Franchis, Alcune osservazioni sulle superficie irregolari, « Rend. Circolo mat. di Palermo », t. 32, (1913), p. 224. Il ragionamento si estende subito ad unaV k onde stabilire la conclusione che un integrale semplice diV k che sia costante lungo unaC l irriducibile, è costante lungo ogni altraC l di un sistema continuo in cuiC l possa eventualmente variare. Di tale proprietà si è occupatoF. Conforto nelle proprie lezioni di questo anno, sulle funzioni abeliane, presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.
Osservazioni di geometria sopra una varietà algebrica, « Rend. R. Accademia delle Scienze di Napoli », (3), 17 (1911), pp. 420–425. Veramente ilTorelli considera soltanto il caso di un sistema ∞k-l di varietàC l , ma è chiaro che il concetto vale in generale.
Cfr. per es.Enriques-Campedelli, Sulla classificazione delle superficie algebriche particolarmente di genere zero, « Rendiconti del Seminario Matematico di Roma », (3), 1 (1934); (pp. 7–190), pag. 139.
Enriques-Campedelli, loc. cit. pag. 146.
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Severi, F. Sugl'integrali semplici di 1a specie e sulle involuzioni irregolari appartenenti ad una varietà o superficie algebrica. Annali di Matematica 21, 1–20 (1942). https://doi.org/10.1007/BF02412402
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