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Sur la représentation analytique d’une branche uniforme d’une fonction monogène

cinquième note

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Acta Mathematica

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  1. Après la publication de la quatrième note ont paru les travaux suivants qui se rapportent au mémoire présent:

  2. Édouard A. Fouët.Leçons élémentaires sur la théorie des fonctions analytiques. Paris 1902. Prem. partie. Chap. V.

  3. Alfred Pringsheim.Jacques Hadamard. La série de Taylor et son prolongement analytique. Archiv. der Math. u. Physik. III Reihe, Bd. 3, 1902, pag. 289, 290, 294, 295.

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  10. Georg Faber.Über die Fortsetzbarkeit gewisser Taylorschen Reihen. Math. Annalen. Bd. 57. H. 3, 1903, pag. 385.

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  11. Georg Faber.Über polynomische Entwickelungen. Math. Annalen. Bd. 57. H. 3, 1903, pag. 406–408.

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  13. J. Malmquist.Sur le calcul des intégrales d’un système d’équations différentielles par la méthode de Cauchy-Lipschitz. Arkiv för Mat. Astr. och Fysik. Stockholm. Bd. 1. 13 maj 1903, pag. 149–156.

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  14. Helge von Koch.Sur une classe remarquable de fonctions entières et transcendentes. Arkiv för Mat. Astr. och Fysik. Stockholm. Bd. 1. 9 sept. 1903, pag. 205–208.

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  16. Ernst Lindelöf.Sur la détermination de la croissance des fonctions entières définies par un développement de Taylor. Bull des. sciences math. Sér. 2. T. 27, août 1903, pag. 224, 225.

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  17. Leopold Fejer.Untersuchung über Fourier’sche Reihen. Math. Annalen. Bd. 58, pag. 51.

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  20. E. Phragmén.Sur une extension d’un théorème classique de la théorie des fonctions. Ce journal. T. 28, pag. 351–368.

  21. Émile Picard.Sur certains développements en séries déduits de la méthode de Cauchy dans la théorie des équations différentielles ordinaires. An. École Norm. T. 21. An. 1902, pag. 141–151.

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  22. L. Hanni.Über die Beziehungen zwischen der Darstellung eines eindeutigen Zweiges einer monogenen Function durch Herrn Mittag-Leffler, der Methode des Mittelwerte des Herrn Borel und der Transformation des Herrn Lindelöf. Acta Math. Ce Tôme.

  23. A. Wiman.Über den Fundamentalsatz in der Theorie der Functionen E α (x). Acta Math. Ce Tôme.

  24. A. Wiman.Über die Nullstellen der Functionen E α (x). Ce Tôme.

  25. J. Malmquist.Étude d’une fonction entière. Acta Math. Ce Tôme. Voir encore mes articles:

  26. Sur l’intégrale de Laplace-Abel. Comptes Rendus etc. T. 135, 1 décembre 1902, pag. 937–939.

  27. Une généralisation de l’intégrale de Laplace-Abel. Comptes Rendus etc. T. 136, 2 mars 1903, pag. 537–539.

  28. Sur la nouvelle fonction E α (x). Comptes Rendus etc. T. 137, 12 octobre 1903, pag. 554–558.

  29. Sopra la funzione E α (x). R. Accad. dei Lincei. Atti. Ser. 5. Vol. 13, 3. gennaio 1904, pag. 3–5.

  30. Un nouveau théorème général de la théorie des fonctions analytiques. Comptes Rendus etc. T. 138, 11 avril 1904, pag. 881–884.

  31. Une nouvelle fonction entière. Comptes Rendus etc. T. 138, 18 avril 1904, pag. 941, 942.

  32. c. f. première note, pag. 43, note 12.

  33. Alfred Pringsheim.Zur Theorie des Doppel-Integrals. Sitzb. d. math. phys. Cl. d. K. bayer. Akad. d. Wiss. Bd. 28. 1898, H. 1, pag. 62.

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  34. Voir surtout:Émile Borel.Mémoire sur les séries divergentes. Annales de l’École normale. Sér. 3. T. 16. Année 1899.Émile Borel.Leçons sur les series divergentes. Paris, Gauthier-Villars, 1901.

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  35. voir pour la définition de «l’étoile», «l’étoile principale», «étoile inscrite» et «étoile circonscrite»: premiére note page 47, seconde note page 200, seconde note page 183. J’ai désigné auparavant l’étoileA comme étoile principlae des constantes\(k_0 , |\underline 1 k_1 , |\underline 2 k_2 , |\underline 3 k_3 \),...

  36. E. Phragmén. Sur le domaine de convergence de l’intégrale infinie\(\int\limits_0^\infty {F(ax)e^{ - a} } \) da. Comptes Rendus. etc. 10 juin 1901.

  37. Je désigne parR(z) la partie réelle dez et parArg(z) l’argument dez.

  38. Recherches sur la série\(1 + \frac{m}{1}x + \frac{{m (m - 1)}}{{1 . 2}}x^2 + \frac{{m (m - 1)(m - 2)}}{{1 . 2 . 3}}x^3 + \cdots \) Théorème 4. Oeuvres. Nouvelle éd. T. I, pag. 223.

  39. E. Phragmén.Sur le domaine de convergence de l’intégrale infinie \(\int\limits_0^\infty {F(ax)e^{ - a} } \) Comptes Rendus etc.Io juin 1901.

  40. Karl Weierstrass.Zur Functionenlehre. Werke. Bd. 2, pag. 205.

  41. En parcourant de nouveau ma note 4 j’ai remarqué une omission dans la démon. stration page 378. J’y suppose tacitement\(\frac{1}{{x_0 - a}}\) réel et je ne mentionne pas le cas général qui se ramène de reste immédiatement au cas réel.

  42. Émile Borel.Addition au mémoire sur les séries divergentes. Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. T. 16. Année 1899, pag. 132–134.E. Phragmén.Sur une extension d’un théorème de Mittag-Leffler. Comptes Rendus 12 juin 1899.

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  43. Fullständig analytisk framställning af hvarije entydig monogen funktion, hvars singulära ställen utgöra en värdemängd af första slaget. Öfversigt af K. Vet. Ak. Förhandl. 8 febr. 1882. J’y ai démontré (pag. 25, 26) la formule\(\begin{gathered} F(x) = B_0 k_0 + B_1 k_1 x + B_n k_n x^n \hfill \\ + \frac{1}{{2\pi i}}\mathop \smallint \limits^S F(z)\left[ {\frac{1}{{z - x}} - \frac{1}{z}\left( {B_0 + B_1 \frac{x}{z} + \cdots + B_n \left( {\frac{x}{z}} \right)^n } \right)} \right]dz \hfill \\ \end{gathered} \) oùB 0,B 1,...,B n sont des constantes par rapport àz mais non par rapport àx, et oùS est un contour limitant une surface simplement connexe pour laquelleF(z) est régulière. J’ai même donné la formule sous la forme plus générale\(\begin{array}{l} F(x) = B_0 k_0 + B_1 k_1 x + \ldots + B_n k_n x^n + \sum\limits_{v = 0}^m {\left[ {G_v \left( {\frac{I}{{x - a_v }}} \right) - \sum\limits_{\mu = 0}^{m - 1} {B_\mu A_\mu ^{(v)} } \left( {\frac{x}{{a_v }}} \right)^\mu } \right]} \\ + \frac{I}{{2\pi i}}\mathop \smallint \limits^S F(z)\left[ {\frac{I}{{z - x}} - \frac{I}{z}\left( {B_0 + B_1 \frac{x}{z} + \ldots + B_n \left( {\frac{x}{z}} \right)^n } \right)} \right]dz \\ \end{array}\) où la fonction, uniforme pour la surface limitée parS et régulière sur le contourS lui-même, possède un nombre limité de points singuliersa 1,a 2, …,a m à l’intérieur deS; et oùG 1(z) …,G m (z) sont des fonctions entières définies par l’égalité\(F(x) = G_v \left( {\frac{I}{{x - a_v }}} \right) + (x - a_v )\) qui a lieu dans le voisinage dea v , l’égalité\(G_v \left( {\frac{I}{{x - a_v }}} \right) = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {A_\mu ^{(v)} } \left( {\frac{x}{{a_v }}} \right)^\mu \) ayant lieu dans le voisinage dex=0. Ma formule montre immédiatement qu’en ayant\(\frac{I}{{z - x}} = \mathop {Lim}\limits_{n = \infty } \frac{I}{z}\left( {B_0 + B_1 \frac{x}{z} + \cdots + B_n \left( {\frac{x}{z}} \right)^n } \right)\) à l’intérieur d’une figure génératrice (c. f. troisième note, page 219) passant par les points 0,x et enveloppant la ligne (Ox) l’égalité\(F(x) = \mathop {Lim}\limits_{n = \infty } \left( {B_0 k_0 + B_1 k_1 x + \cdots + B_n k_n x^n } \right)\) a lieu pour une étoileE qu’on obtient en construisant autour de chaque vecteur issu de l’origine la plus grande des figures génératrices qui n’embrasse aucun point singulier deF(x) et en adjugeant àE la partie du vecteur entre l’origine etx. C’est justement le même théorème qui à été démontré parMM. Borel etPhragmén.

  44. Les auteurs qui ont parlé de la simplification de ma première démonstration à laquelle d’autres auteurs seraient arrivés après moi (voir p. ex.Pringsheim, Jacques Hadamard.La série de Taylor et son prolongement analytique. Archiv. d. Math. und Physik. 3 Reihe. Bd. 3, pag. 289) ne paraissent pas avoir saisi le fond de ma pensée.

  45. Voir par exemple:Julius Petersen.Vorlesungen über Functionstheorie. Kopenhagen. Andr. Fr. Høst & søn 1898. Kapitel 8, §§78, 79.Hj. Mellin.Die Dirichlet’schen Reihen, die zahlentheoretischen Functionen und die unendlichen Produkte von endlichem Geschlecht. Acta Soc. Sc. Fennicae. T. 31, no 2.Ernst Lindelöf:Quelques applications d’une formule sommatoire générale. Acta Soc. Sc. Fennicae. T. 31, no 3.

  46. Voir par exemple:Schlömilch.Compendium der höheren Analysis. 2ter Band. 3 Aufl., pag. 248.

  47. Intermédiaire des mathématiciens. T. 6, no 4, avril 1899.

  48. Über die Anzahl der Primxahlen unter einer gegebenen Grösse. Monatsber. der Berl. Academie. Nov. 1859. Ges. Werke. Zweite Aufl. pag. 145.

  49. Die Euler’schen Integrle bei unbeschränkter Variabilität des Argumentes. Zur Habilitation in der philos. Facultät der Universität Leipzig bearb. von DrHermann Hankel. In Commission bei Leopold Voss. 1863. Zeitschrift für Math. und Physik. Neuntes Jahrgang, pag. 1–21.

  50. Werke. Zweite Auflage, pag. 146.

  51. Helge von Koch.Sur une classe remarquable de fonctions entières et transcendentes. Arkiv f. Mat. Astr. o. Fysik. Stockholm. Bd I, 9 sept. 1903.

  52. J. Malmquist.Étude d’une fonction entière. Acta math. Ce tôme.

  53. 2 mars 1903.

  54. Acta Soc. Sc. Fenn. T. 31, no 3, pag. 29.

  55. Bull. des Sc. Math. Août 1903, pag. 224–225.

  56. c. f.E. Phragmén.Sur une extension etc. Ce journal. T. 28, pag. 357, 358. Ainsi que mes deux notesUn nouveau théorème etc. Comptes Rendus II avril 1904. etUne nouvelle fonction etc. Comptes Rendus 18 avrill 1904.

  57. Sur une extension etc.

  58. c. f. ma note des Comptes Rendus etc. pour le 12 octobre 1903.

  59. Über die Nullstellen der Functionen E α (x). Ce Tome.

  60. Sur une extension etc. T. 28, pag. 357.

  61. voir pour la signification des constantesk page 103.

  62. Weierstrass.Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Funktionen reller Argumente. Theorem A. Berl. Sitzungsber., 9 Juli 1885. Werke, Bd 3, Pag. 4.

  63. Weierstrass. Werke. Bd. I, pag. 67.

  64. Weierstrass.Zur Functionenlehre. Werke. Bd.2, pag. 205.

  65. Un nouveau théorème général de la théorie des fonctions analytiques. Comptes Rendus etc. T. 138, ii avril 1904. Voir encore pour cette fonction:E. Phragmén.Sur une extension d’un théorème classique de la théorie des fonctions. Ce journal, t. 28, p. 357–359.

  66. pour la définition de «figure génératrice» engendrant une étoile inscrite dans une autre étoile, voir page 219 de ma troisiéme note.

  67. voir page 229 de ma troisième note.

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  1. G. Mittag-Leffler
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Mittag-Leffler, G. Sur la représentation analytique d’une branche uniforme d’une fonction monogène. Acta Math. 29, 101–181 (1905). https://doi.org/10.1007/BF02403200

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