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References
Über diesen Begriff, der übrigens im folgenden nicht weiter benutzt wird, vergleiche man die Arbeit des Verfassers:Über die Konvergenz der Jacobi-Kettenalgorithmen mit komplexen Elementen, Sitzungsberichte der math. phys. Klasse der kgl. bayer. Akademie der Wissenschaften, Bd. 37 (1907). Ferner auch:Über lineare Differenzen- und Differentialgleichungen, Mathemat. Annalen Bd. 66 (1909).
Wie sofort zu sehen, könnte man den FaktorC auch unterdrücken, indem man fürM nötigenfalls eine etwas grössere Zahl wählt. Doch würde die Ungleichung dann nicht mehr für alle ν, sondern nur für ν>N gelten, wobei nun natürlich die ZahlN vonD 0,D 1,...,D r−1 abhängt.
Hierbei ist natürlich ρ (υ)0 zu setzen, während diejenigen Terme, bei denen der untere Index von ϱ etwa negativ werden sollte, einfach wegfallen.
Die Modifikationen, welche die folgenden Erörterungen im Fallk e=∞ erleiden, werden am Schluss von § 4 kurz auseinandergesetzt werden.
Mit dem Symbol Max (k 0,k 1,...k j) oder auch\(\mathop {Max}\limits_{i = 0}^j k_i \) wird die grösste der Zahlenk 0,k 1,...k j bezeichnet. Analog mit Min (k 0,k 1,...,k j) oder auch\(\mathop {Min}\limits_{i = 0}^j k_i \) die kleinste.
Hierzu bemerke ich, worauf mit Rücksicht auf Späteres zu achten ist, dass Ungleichung (13) füri=e nicht beansprucht wird.
Füri=o versagen diese Determinanten. Aber dieser Fall ist trivial, da ja ohne weiteres ans der ersten Gleichung von (A) sowohl als von (B) übereinstimmend folgt:\(\mathop {d(v)}\limits_0 = \frac{I}{{\mathop {c(v)}\limits_0 }}\).
Unter jee aufeinander folgenden Indices muss sich notwendig ein solcher finden, weil sonst wegen (32)D ν für alle ν verschwinden würde. Man kann also μ etwa aus der Reihe der ZahlenN, N+1,...N+e−1 wählen.
Von den Anfangswerten abhängig dagegen ist der kleinste ν-Wert, für welchen die Ungleichung (36) besteht. Will man ihn davon unabhängig haben, so ist auf der rechten Seite von (36) noch ein konstanter FaktorC beizusetzen, der dann seinerseits von den Anfangswerten abhängen wird, oder aber man lässtm von diesen abhängen. Übrigens wird die Abhängigkeit oder Unabhängigkeit (auch der ZahlenM, L etc.) von den Anfangswerten, da sie nirgends eine Rolle spielt, im folgenden nicht mehr weiter registriert.
Abgesehen von der Ungleichung (13) füri=e, welche aber, wie dort bereits bemerkt wurde, die weitere Untersuchung nicht beeinflusst.
An sich kann ja eine lineare Kombination von Funktionenq ter Ordnung sehr wohl auch von geringerer (aber niemals von höherer) Ordnung sein.
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Perron, O. Über Lineare Differenzengleichungen. Acta Math. 34, 109–137 (1911). https://doi.org/10.1007/BF02393125
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02393125