On the solution of interval linear systems

Abstract

In the literature efficient algorithms have been described for calculating guaranteed inclusions for the solution of a number of standard numerical problems [3,4,8,11,12,13]. The inclusions are given by means of a set containing the solution. In [12,13] this set is calculated using an affine iteration which is stopped when a nonempty and compact set is mapped into itself. For exactly given input data (point data) it has been shown that this iteration stops if and only if the iteration matrix is convergent (cf. [13]).

In this paper we give a necessary and sufficient stopping criterion for the above mentioned iteration for interval input data and interval operations. Stopping is equivalent to the fact that the algorithm presented in [12] for solving interval linear systems computes an inclusion of the solution. An algorithm given by Neumaier is discussed and an algorithm is proposed combining the advantages of our algorithm and a modification of Neumaier's. The combined algorithm yields tight bounds for input intervals of small and large diameter.

Using a paper by Jansson [6,7] we give a quite different geometrical interpretation of inclusion methods. It can be shown that our inclusion methods are optimal in a specified geometrical sense. For another class of sets, for standard simplices, we give some interesting examples.

Zusammenfassung

In der Literatur werden eine Reihe effizienter Algorithmen beschrieben zur Berechnung garantierter Einschließungen der Lösung numerischer Standardprobleme [3,4,8,11,12,13]. Die Einschließungen werden in Form von Mengen gegeben. In [12, 13] wird diese Menge mit Hilfe einer affinen Transformation berechnet, die stoppt, wenn eine nichtleere kompakte Menge in sich selbst abgebildet wird. Für Punkteingabedaten wurde gezeigt, daß diese Iteration genau dann stoppt, wenn die Iterationsmatrix konvergent ist [13].

In der vorliegenden Arbeit werden notwendige und hinreichende Stop-Bedingungen angegeben für Intervalleingabedaten und Intervalloperationen im reellen und im komplexen. Stoppen heißt hierbei, daß der Algorithmus aus [12] für Intervallgleichungssysteme eine Einschließung liefert. Ein Algorithmus von Neumaier wird diskutiert, und es wird ein Hybrid-Algorithmus vorgeschlagen, der die Vorteile Neumaiers und unseres Algorithmus kombiniert.

Unter Benutzung einer Arbeit von Jansson [6, 7] wird eine interessante geometrische Interpretation von Einschließungsalgorithmen gegeben. Es wird gezeigt, daß die Einschließungsalgorithmen in bestimmtem Sinne optimal sind. für eine andere Klasse von Mengen, für Standardsimplexe, geben wir einige interessante Beispiele.