Formalization and implementation of floating-point matrix operations

Abstract

The paper shows that floating-point matrix operations can be implemented in a way which leads to reasonable mathematical structures as well as to sensible compatibility properties between these structures and the structure of the real matrices. It turns out, for instance, that all the rules of the minus-operator for real matrices can be saved and that for all elements which are comparable with 0 with respect to ≦ and ≧ the same rules for inequalities hold as for real matrices. These structures also occur in other fields of mathematics [5], [6], [7]. They allow many theoretical considerations with floating-point matrices. The proposed implementation, furthermore, leads to a higher accuracy of floating-point matrix operations and allows a much simpler error analysis (Theorem 2.5).

Theorem 2.3 is the main result for the implementation. It reduces the structure of floating-point matrices to special properties of the rounding function and to a special definition of the operations. In chapter 1 these properties are derived as necessary conditions for an algebraic and order homomorphism between the real matrices and the floating-point matrices.

The last chapter gives the algorithms for the implementation of floating-point matrix operations for all roundings of the set {▽, △,$\square _\mu$, μ=0(1)b} (for definition see chapter 1) using a special accumulator (Fig. 3 in chapter 3). It is an essential result that the implementation of all operations can be separated into several independent steps which means that an exchange of the rounding does not influence any other part of the algorithm.

Zusammenfassung

Die Arbeit zeigt, daß Gleitkommamatrixverknüpfungen in einer Weise implementiert werden können, welche eine vernünftige mathematische Struktur wie auch sinnvolle Verträglichkeitsbedingungen zwischen der Struktur der reellen Matrizen und derjenigen der Gleitkommamatrizen erlaubt. Es stellt sich beispielsweise heraus, daß alle Regeln für den Minusoperator bei reellen Matrizen erhalten werden können und daß für alle mit Null vergleichbaren Elemente bezüglich ≦ und ≧ dieselben Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen gelten wie für reelle Matrizen. Die sich ergebenden Strukturen treten auch in anderen Gebieten der Mathematik auf [5], [6], [7]. Sie ermöglichen viele theoretische Untersuchungen mit Gleitkommamatrizen. Die vorgeschlagene Implementierung hat ferner eine höhere Genauigkeit der Verknüpfungen für Gleitkommamatrizen zur Folge und erlaubt eine wesentlich einfachere Fehleranalysis (Satz 2.5).

Der Satz 2.3 stellt das Hauptergebnis für die Implementierung dar. Er führt die Struktur der Gleitkommamatrizen zurück auf spezielle Eigenschaften der Rundungsfunktion und eine spezielle Definition der Verknüpfungen. Im ersten Abschnitt werden diese Eigenschaften als notwendige Bedingungen für einen algebraischen und Ordnungshomomorphismus zwischen den reellen Matrizen und den Gleitkommamatrizen hergeleitet.

Der letzte Abschnitt behandelt die Algorithmen für die Implementierung der Verknüpfungen für Gleitkommamatrizen für alle Rundungsfunktionen der Menge {▽, △,$\square _\mu$, μ=0(1)b} (bezüglich der Definition siehe den ersten Abschnitt). Dabei wird ein spezieller Akkumulator verwendet (Abb. 3 im dritten Abschnitt). Ein wesentliches Ergebnis besteht darin, daß die Implementierung für alle Operationen in verschiedene, voneinander unabhängige Schritte zerlegt werden kann. Dies bedeutet beispielsweise, daß ein Austausch der Rundungsfunktion keinen anderen Teil des Gesamtalgorithmus beeinflußt.