A note on the ε-algorithm

Summary

This paper contains the proof of a fundamental algebraic results in the theory of the vector ε-algorithm. The relationships of this algorithm involve the addition, subtraction and inversion of vectors of complex numbers: the first two operations are defined by component-wise addition and subtraction; the inverse of the vectorz=(z ₁ ...,z _N ) is taken to be

$$z^{ - 1} = \frac{{(\bar z_1 ,...,\bar z_N )}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {z_i } \right|^2 } }}$$

where the bar denotes a complex conjugate. It is proved that if vectorsε ^(m) _s can be constructed from the initial valuesε ^(m)₋₁ =0, (m=1,2,...),ε ^(m)₀ =s _m , (m=0,1, ...) by means of the relationshipsε ^(m) _s+1 =ε ^(m+1) _s-1 +(ε ^(m+1) _s -ε ^(m) _s )⁻¹, (m, s=0,1, ...); and if the recursion relations$\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i s_{m + i} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } } \right)} a,(m = 0,1,...)$ hold for the initial values, where the coefficients β _i (i=0,1,...,n) are real and βn≠0, then form=0,1, ...,ε ^(m) _2s =a, if$\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } \ne 0$ andε ^(m) _2s =0, if$\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } = 0$.

Zusammenfassung

Diese Arbeit beinhaltet ein fundamentales algebraisches Ergebnis der Theorie des vektoriellen ε-Algorithmus. Als Verknüpfungen dieses Algorithmus werden verwendet die Addition, die Subtraktion und der inverse Vektor mit komplexen Komponenten. Die ersten beiden Operationen sind definiert durch komponentenweise Addition beziehungsweise Subtraktion. Seiz=(z ₁, ...,z _N ) ein vorgegebener Vektor, so soll der inverse Vektor auf folgende Weise gebildet werden.

$$z^{ - 1} = \frac{{(\bar z_1 ,...,\bar z_N )}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\left| {z_i } \right|^2 } }},$$

wobei der Querstrich die konjugiert komplexe Zahl bedeutet. Unter der Voraussetzung, daß der Vektorε ^(m) _s aus den Anfangsbedingungenε ^(m)₋₁ =0, (m=1, 2, ...),ε ^(m)₀ =s _m , (m=0,1, ...) mittels der Beziehungenε ^(m) _s+1 =ε ^(m+1) _s-1 +(ε ^(m+1) _s -ε ^(m) _s )⁻¹, (m, s=0,1,...) gebildet werden kann und unter der weiteren Voraussetzung, daß die Rekursionsformel$\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i s_{m + 1} = \left( {\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } } \right)} a,(m = 0,1,...)$ (m=0,1,...) auch für die Anfangsbedingungen gilt, wobei die Koeffizienten β _i (i=0,1,...,n) reell und ungleich Null sein sollen, wird fürm=0,1, ... bewiesen, daß die Beziehungenε ^(m)_2n =a gilt für$\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } \ne 0$ undε ^(m)_2n =0 gilt, wenn$\sum\limits_{i = 0}^n {\beta _i } = 0$.