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Application of multiple shooting to the numerical solution of optimal control problems with bounded state variables

Anwendungen der Mehrzielmethode auf die numerische Lösung von Steuerungsproblemen mit beschränkten Zustandsvariablen

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Abstract

Algorithms for the numerical solution of optimal control problems with bounded state variables are developed. Two main cases are considered: either the control variable appears nonlinearly or the control variable appears linearly. In the first case, an extremal are touching the boundary or containing a boundary arc, is shown to satisfy a suitable two-point boundary value problem. In the second case, a numerical idea for solving the problem in statespace is presented which dispenses with the Lagrange-multipliers. Three numerical examples are discussed illustrating the efficiency of the different algorithms. The encountered two-point boundary value problems are solved with the method of multiple shooting.

Zusammenfassung

Algorithmen zur numerischen Lösung von Steuerungsproblemen mit beschränkten Zustandsvariablen werden entwickelt. Zwei Fälle werden betrachtet: entweder tritt die Steuervariable nichtlinear auf oder sie tritt linear auf. Im ersten Fall wird gezeigt, daß eine Extremale, welche entweder die begrenzung berührt oder ein Stück auf der Begrenzung verläuft, Lösung eines geeigneten Zwei-Punkt-Randwertproblems ist. Im zweiten Fall wird eine numerische Idee beschrieben, welche eine numerische Lösung des Problems im Zustandsraum gestattet und auf die Lagrange-Multiplikatoren verzichtet. Drei numerische Beispiele werden diskutiert, welche die Effektivität der verschiedenen Algorithmen zeigen. Die dabei auftretenden Zwei-Punkt-Randwertprobleme werden mit der Mehrzielmethode gelöst.

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References

  1. Bryson, A. E., Denham, W. F., Dreyfus, S. E.: Optimal Programming Problems with Inequality Constraints, I: Necessary Conditions for Extremal Solutions AIAA Journal1, 2544–2550 (1963).

    Google Scholar 

  2. Jacobson, D. H., Lele, M. M., Speyer, J. L.: New Necessary Conditions of Optimality for Control Problems with State-Variable Inequality Constraints. J. of Math. An. and Appl.35, 255–284 (1971).

    Google Scholar 

  3. Norris, D. O.: Nonlinear Programming Applied to State—Constrained Optimization Problems. J. of Math. An. and Appl.43, 261–272 (1973).

    Google Scholar 

  4. Denham, W. F., Bryson, A. E.: Optimal Programming Problems with Inequality Constraints, II: Solution by Steepest Ascent. AIAA Journal2, 25–34 (1964).

    Google Scholar 

  5. Jacobson, D. H., Lele, M. M.: A Transformation Technique for Optimal Control Problems with a State Variable Inequality Constraint. IEEE Transactions on Automatic ControlAC 14, No. 5 (1969).

    Google Scholar 

  6. Mehra, R. K., Davis, R. E.: A Generalized Gradient Method for Optimal Control Problems with inequality Constraints and Singular Arcs. IEEE Transactions on Automatic Control Ac-17, No. 1 (1972).

  7. Miele, A., Well, K. H., Tietze, J. L.: Modified Quasilinearization Algorithms for Optimal Control Problems with Bounded State. JOTA12, 285–319 (1973).

    Google Scholar 

  8. Litt, F. X.: Commande Optimale Avec Contraintes D'Etat. Revue R.A.I.R.O., no Novembre 1973-J-3, 3–17 (1973).

  9. Bulirsch, R.: Die Mehrzielmethode zur numerischen Lösung von nichtlinearen Randwertproblemen und Aufgaben der optimalen Steuerung. Report der Carl-Cranz-Gesellschaft e. V., Oktober 1971.

  10. Stoer, J., Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik II. (Heidelberger Taschenbuch 114.) Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1973.

    Google Scholar 

  11. Bulirsch, R., Deuflhard, P., Stoer, J.: Numerical Solution of nonlinear two-point boundary value problems I (to be published in Num. Math., Handbook Series Approximation).

  12. McIntyre, J., Paiewonsky, B.: On Optimal Control with Bounded State Variables, in: Advances in Control Systems (Leondes, G. T. ed.), Vol. 5, pp. 389–419. New York: Academic Press 1967.

    Google Scholar 

  13. Hamilton, W. E., Jr.: On Nonexistence of Boundary Arcs in Control Problems with Bounded State Variables. IEEE Transactions on Automatic Control AC-17, No. 3, 338–343 (1972).

    Google Scholar 

  14. Bulirsch, R.: Variationsrechnung und optimale Steuerung, Mathematisches Institut der Universität Köln, Vorlesung WS 1971/72, unpublished.

  15. Gillessen, W.: Optimale Steuerung bei einer Beschränkung im Phasenraum und deren numerische Berechnung, dokumentiert an zwei Beispielen aus der Flugbahnoptimierung für Ordnungen der Zustandsbeschränkungq=0 undq=2. Diplomarbeit, Mathematisches Institut der Universität Köln, W. Germany, 1974.

    Google Scholar 

  16. Maurer, H.: Numerical Solution of Singular Control Problems Using Multiple Shooting Techniques [to appear in JOTA18, No. 2 (1976)].

  17. Heidemann, U.: Numerische Berechnungen optimaler Steuerungen mit Hilfe der Mehrzielmethode bei Beschränkungen im Zustandsraum mit Beispielen aus der Physik, Chemie und Raumfahrt. Diplomarbeit, Mathematisches Institut der Universität Köln, W. Germany, 1974.

    Google Scholar 

  18. Bryson, A. E., Ho, Y. G.: Applied Optimal Control, p. 121. Waltham, Massachussetts: Ginn and Company 1969.

    Google Scholar 

  19. Wick, R.: Numerische Lösung volkswirtschaftlicher Variationsprobleme mit Zustandsbeschränkungen unter Anwendung der Mehrzielmethode. Diplomarbeit, Mathematisches Institut der Universität Köln, W. Germany, 1974.

    Google Scholar 

  20. Miele, A., Well, K. H., Tietze, J. L.: Modified Quasilinearization Algorithms for Optimal Control Problems with Bounded State Variables, Part 2, Examples. Rice University, Aero-Astronautics Report No. 105, 1972.

  21. Knobloch, H. W.: On optimal control problems with bounded state variables, in: Conference on the Theory of Ordinary and Partial Differential Equations (Everett, W. N., Sleeman, B. D., ed.). (Lecture Notes in Mathematics 280.) Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1972.

    Google Scholar 

  22. Bock, G.: Numerische Optimierung zustandsbeschränkter parameterabhängiger Prozesse mit linear auftretender Steuerung unter Anwendung der Mehrzielmethode. Diplomarbeit, Mathematisches Institut der Universität Köln, W. Germany, 1974.

    Google Scholar 

  23. Deuflhard, P.: A Modified Newton Method for the Solution of Ill-Conditioned Systems of Nonlinear Equations with Application to Multiple Shooting. Num. Mathematik22, 289–315 (1974).

    Google Scholar 

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Authors and Affiliations

  1. Mathematisches Institut, Universität Würzburg, Am Hubland, D-8700, Würzburg, Bundesrepublik Deutschland

    H. Maurer

  2. Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, D-8012, Ottobrunn, Bundesrepublik Deutschland

    W. Gillessen

Authors
  1. H. Maurer
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  2. W. Gillessen
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The author was supported by a Postdoctoral Fellowship of the Canada Council at the University of British Columbia, Vancouver.

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Maurer, H., Gillessen, W. Application of multiple shooting to the numerical solution of optimal control problems with bounded state variables. Computing 15, 105–126 (1975). https://doi.org/10.1007/BF02252860

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