The asymptotic distribution of random clumps

Abstract

When objects are scattered at random in the plane or in space, some of them overlap to form clumps. It is the object of the present paper to study the asymptotic distribution of the number of clumps of given size and topological structure generated within the following model:

Ifx ₁, ...,x _n are points in ℝⁿ andU=-U⊂ℝⁿ is a symmetric set, then the pointsx _i andx _j are said tooverlap or rather to form aU-coincidence, ifx _i −x _j ∈U. Adjoining tox ₁, ...,x _n andU, the graphG(x ₁, ...,x _n ;U)≔({1, ..., n}, {[i, j]:1≤i<j≤n;x _i −x _j ∈U}), the so calledcoincidence-graph, we ask for the number of connected components of this graph isomorphic to a given graphH and call this numberL9x ₁, ...x _n ;U, H). In the paper, the asymptotic distribution ofL(...) under various assumptions about the distribution of the pointsx ₁, ...,x _n and the size ofU is studied. Depending on these assumptions, we prove that the asymptotic distribution ofL(...) is either Poisson or normal.

Zusammenfassung

Verteilt man geometrische Objekte in zufälliger Lage im Raum oder in der Ebene, so bilden sich durch Überlappen sogenannteKlumpen. In der vorliegenden Arbeit wird die asymptotische Verteilung der Anzahl von Klumpen gegebener Größe und topologischer Struktur innerhalb des folgenden Modells untersucht:

Sindx ₁, ...,x _n Punkte im ℝⁿ und istU=-U⊂ℝ eine symmetrische Menge, dannüberlappen sich die Punktex _i undx _j , oder besser, sie bilden eineU-Koinzidenz, genau dann, wennx _i −x _j ∈U gilt. Wir ordnen den Punktenx ₁, ...,x _n undU den sogenanntenKoinzidenzgraphen G(x ₁, ...,x _n ;U)≔≔({1, ...,n}, {[i, j]:1≤i<j≤n, x _i −x _j ∈U}) zu und fragen nach der AnzahlL(x ₁, ...,x _n ;U, H) zusammenhängender Komponenten vonG(...), die zu einem festen GraphenH isomorph sind. In der vorliegenden Arbeit wird die asymptotische Verteilung vonL(...) unter verschiedenen Voraussetzungen über die Verteilung der Punktex ₁, ...,x _n sowie die Größe vonU untersucht. In Abhängigkeit von diesen Voraussetzungen ist die asymptotische Verteilung vonL(...) entweder eine Normal- oder eine Poisson-Verteilung.